Orientacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>X</math> będzie <math>n</math>-wymiarową [[liczby rzeczywiste|rzeczywistą]] [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], zaś układy wektorów <math>a_1, \dots, a_n</math> oraz <math>b_1, \dots, b_n</math> jej bazami algebraicznymi. [[Macierz przekształcenia liniowego|Macierz przejścia]] <math>P_{ab}</math> od bazy <math>(a_i)</math> do <math>(b_i)</math> jest [[macierzMacierz odwracalnaodwrotna|nieosobliwa]]. Oczywiście macierzą przejścia <math>P_{ba}</math> od bazy <math>(b_i)</math> do <math>(a_i)</math> jest macierz do niej [[macierz odwrotna|odwrotna]]. Obie te macierze posiadają [[wyznacznik]] tego samego znaku.

Bazy <math>(a_i), (b_i)</math> przestrzeni <math>X</math> są '''zgodnie zorientowane''', jeżeli wyznacznik macierzy przejścia <math>P_{ab}</math> jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są '''przeciwnie zorientowane'''. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni <math>X</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]], zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na [[klasaRelacja abstrakcjirównoważności|klasy abstrakcji]] nazywane '''orientacjami''' tej przestrzeni. Jeżeli <math>(a_i)</math> jest ustaloną bazą <math>X</math>, to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą <math>-a_1, a_2, \dots, a_n</math>. Jeżeli <math>\tau</math> jest orientacją <math>X</math>, to jej drugą orientację nazywamy '''przeciwną''' względem <math>\tau</math> i oznaczamy <math>-\tau</math>.