Wersja z 01:59, 29 maj 2011 edytuj ZéroBot (dyskusja \| edycje) 283 714 edycji m r2.7.1) (robot dodaje: sv:Gershgorins cirkelsats ← poprzednia edycja		Wersja z 14:10, 1 sie 2011 edytuj anuluj edycję PMG (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Użytkownicy o ukrytej aktywności, Administratorzy 361 081 edycji WP:SK, drobne techniczne następna edycja →
Linia 2: == Treść twierdzenia oraz dowód == Niech ''A'' będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze ''n''~~×~~×''n'' z elementami (''a''<sub>''ij''</sub>). Dla ''i'' ∈ {1, … ''n''} niech ''R''<sub>''i''</sub> = ∑<sub>''j'' ≠ ''i''</sub> \|''a''<sub>''ij''</sub>\| gdzie \|''a''<sub>''ij''</sub>\| oznacza [[Moduł liczby zespolonej\|moduł]] z liczby ''a''<sub>''ij''</sub>. Niech ''D''(''a''<sub>''ii''</sub>, ''R''<sub>''i''</sub>) będzie domkniętym [[Koło\|kołem]] o środku w ''a''<sub>''ii''</sub> i promieniu ''R''<sub>''i''</sub>. Takie koła są nazywane ''kołami Gerszgorina''. '''Treść twierdzenia''': każda wartość własna macierzy ''A'' leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół ''D''(''a''<sub>''ii''</sub>, ''R''<sub>''i''</sub>). ''Dowód'': Niech λ będzie wartością własną ''A'' oraz '''x''' = (''x''<sub>''j''</sub>) odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech ''i'' ∈ {1, … ''n''} będzie takie, że \|''x''<sub>''i''</sub>\| = max<sub>''j''</sub> \|''x''<sub>''j''</sub>\|. Wtedy \|''x''<sub>''i''</sub>\| > 0, gdyż w przeciwnym wypadku '''x''' = 0, co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy ''A'''''x''' = λ'''x''' lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo -– wektorowy): <math> \sum_{j} a_{ij} x_{j} = \lambda x_{i} \quad \forall i \in \{1, \ldots, n\} </math> Linia 21: cbdu. Ponieważ wartości własne macierzy ''A''<sup>T</sup> są takie same jak macierzy ''A'', twierdzenie możemy wzmocnić -– wszystke wartości własne macierzy ''A'' muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy A i sumy kół dla macierzy ''A''<sup>T</sup>. W szczególnym przypadku dla [[Macierz diagonalna\|macierzy diagonalnej]] mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej. == Źródła == * Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, ~~749–754~~749–754, 1931 * Varga, R. S. ''Geršgorin and His Circles.'' Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. [http://www.math.kent.edu/~varga/pub/corrections.pdf Errata]. * Turowicz, A. ''Geometria zer wielomianów'', PWN, Warszawa 1967 == Linki zewnętrzne == * Eric W. Weisstein. "[http://mathworld.wolfram.com/GershgorinCircleTheorem.html Gershgorin Circle Theorem]." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. * Semyon Aranovich Gershgorin biography at [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Gershgorin.html MacTutor]

Twierdzenie Gerszgorina: Różnice pomiędzy wersjami