Wikipedia

Antynomia Russella: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
WikitanvirBot (dyskusja | edycje)
111 611 edycji
m r2.7.1) (robot poprawia: is:Russell-þversögn
drobne redakcyjne
Linia 1:
'''Antynomia Russella''' lub '''paradoks Russella''' – sprzeczność wykryta w naiwnej [[teoria mnogości|teorii mnogości]] przez [[Bertrand Russell|Bertrands Russells]] w [[1901]] roku, która stanowiła duży cios dla rozwoju [[logicyzm]]u (próbie aksjomatyzacji matematyki opartej na [[logika|logice]], a w istocie na teorii mnogości). Zgodnie z tym ideami leżącymi u podstaw tego prądu wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako [[zbiór|zbiory]]; obserwacja Russella zmusiła matematyków do rewizji tego stanowiska i przyjęcia, że istnieją obiekty opisywane [[formuła logiczna|formułami logicznymi]], które nie są zbiorami (nazywa się je [[klasa (matematyka)|klasami właściwymi]]). [[Paradoks]] ten ma charakter podobny do takich paradoksów jak [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]], [[paradoks kłamcy]] czy [[paradoks Berry'ego]].
'''Antynomia Russella''' lub ''paradoks Russella'' brzmi następująco:
 
Znane jest anegdotyczne[[Anegdota|Anegdotyczne]] sformułowanie antynomiitej Russella,[[antynomia|antynomii]] noszącenosi nazwę '''paradoksu fryzjera'':' lub '''paradoksu golibrody'''<ref>{{cytuj stronę|url=http://www.math.edu.pl/paradoks-fryzjera|tytuł=Paradoks fryzjera|opublikowany=www.math.edu.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>:▼
Rozważmy [[zbiór]] ''V'' zawierający wszystkie zbiory ''X'' takie (i tylko takie), że ''X'' nie jest elementem ''X'':
{{cytat|: ''Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli wszystkich tych i tylko tych mieszkańców, którzy sami się nie golą, i tylko ich. Czy fryzjer goli się sam?}}''▼
: <math>V=\{X: X \notin X\}</math>▼
Zadajmy teraz pytanie: czy V jest elementem V? Jeśli tak, to wtedy V nie spełnia własności elementów zbioru V, więc nie jest elementem V. Jeśli zaś założymy, że V nie jest elementem V, to wtedy, zgodnie z powyższą definicją, V musi być elementem V. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności.<ref>{{cytuj stronę|url=http://encyklopedia.pwn.pl/haslo.php?id=3954199|tytuł=Paradoks Russella|opublikowany=encyklopedia.pwn.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>▼
 
== Paradoks ==
Sprzeczność tę zauważył [[Bertrand Russell]] w [[1901]] roku. Stanowiła ona duży cios dla osób rozwijających [[teoria mnogości|teoriomnogościowe]] podwaliny matematyki, którzy do tamtej pory przyjmowali, że wszystkie matematyczne obiekty są [[zbiór|zbiorami]]. Uwaga Russella zmusiła matematyków do rewizji tego stanowiska i przyjęcia, że istnieją obiekty opisywane [[formuła logiczna|formułami logicznymi]], które zbiorami nie są (owe obiekty nazywane są [[Klasa (matematyka)|klasami właściwymi]]).
Niech <math>\scriptstyle V</math> oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory <math>\scriptstyle X,</math> dla których <math>\scriptstyle X</math> nie jest elementem <math>\scriptstyle X,</math> tj.
▲: <math>V = \bigl\{X:\colon X \notin X\bigl\}.</math>
 
▲ZadajmyZbiór teraztaki istnieć nie może, ponieważ rozpatrując pytanie: o to, czy <math>\scriptstyle V</math> jest elementem <math>\scriptstyle V?</math> dochodzi się do sprzeczności: Jeślijeśli takbyłby, to wtedy <math>\scriptstyle V</math> nie spełnia własności elementów zbioru <math>\scriptstyle V,</math> a więc nie jest elementem <math>\scriptstyle V.;</math> Jeślijeśli zaś założymy, że<math>\scriptstyle V</math> nie jestbyłby elementem <math>\scriptstyle V,</math> to wtedy, zgodnie z powyższą definicją,<math>\scriptstyle V</math> musi być elementem <math>\scriptstyle V.</math> Wna tenmocy sposóbdefinicji dochodzimytego do sprzeczności.zbioru<ref>{{cytuj stronę|url=http://encyklopedia.pwn.pl/haslo.php?id=3954199|tytuł=Paradoks Russella|opublikowany=encyklopedia.pwn.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>.
Paradoks ten ma charakter podobny do innych [[paradoks]]ów, takich jak [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]], [[paradoks kłamcy]] czy [[paradoks Berry'ego]].
 
== Linki zewnętrzne ==▼
▲Znane jest anegdotyczne sformułowanie antynomii Russella, noszące nazwę ''paradoksu fryzjera'':<ref>{{cytuj stronę|url=http://www.math.edu.pl/paradoks-fryzjera|tytuł=Paradoks fryzjera|opublikowany=www.math.edu.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>
* {{cytuj stronę|url=http://www.obi.opoka.org.pl/zfn/026/zfn02605Dadaczynski.pdf|tytuł=Antynomie teoriomnogościowe a powstanie klasycznych kierunków badania podstaw matematyki|autor=Jerzy Dadaczyński|opublikowany=www.obi.opoka.org.pl}}▼
▲{{cytat|Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli wszystkich mieszkańców, którzy sami się nie golą, i tylko ich. Czy fryzjer goli się sam?}}
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
 
{{Przypisy}}
 
▲== Linki zewnętrzne ==
▲{{cytuj stronę|url=http://www.obi.opoka.org.pl/zfn/026/zfn02605Dadaczynski.pdf|tytuł=Antynomie teoriomnogościowe a powstanie klasycznych kierunków badania podstaw matematyki|autor=Jerzy Dadaczyński|opublikowany=www.obi.opoka.org.pl}}
 
[[Kategoria:Teoria mnogości]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Antynomia_Russella”