Wikipedia

Dzielnik: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
MerlIwBot (dyskusja | edycje)
289 486 edycji
m WP:SK, zob. też, strony jako źródła do cech
Linia 1:
{{disambigR|pojęcia w matematyce|[[Dzielnik (województwo mazowieckie)|miejscowość o tej nazwie]]}}
{{spis treści}}
'''Dzielnik''' – w [[matematyka|matematyce]] dla danej [[liczba całkowita|liczby całkowitejcałkowite]]j liczba całkowita, która [[dzielenie|dzieli]] ją bez [[twierdzenie o dzieleniu z resztą|reszty]]. W matematyce elementarnej ''dzielnikiem'' nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie „<math>m</math> jest dzielnikiem <math>n</math>” zapisuje się jako <math>m \mid n</math>.
 
== Definicja ==
Niech <math>a, b, c</math> będą niezerowymi [[liczbaliczby całkowitacałkowite|liczbami całkowitymi]]. Liczba <math>b</math> jest '''dzielnikiem''' liczby <math>a,</math> jeżeli istnieje taka liczba <math>c,</math> że spełnione jest równanie
: <math>a = bc.</math>
Mówi się wtedy, że <math>b</math> '''dzieli''' <math>a</math> bądź <math>a</math> jest '''podzielne''' przez <math>b</math> i zaznacza się symbolicznie <math>b|a.</math> Liczbę <math>a</math> nazywa się z kolei ''[[wielokrotność|wielokrotnością]]'' bądź ''[[czynnik]]iem'' liczby <math>b.</math>
Linia 10:
Nazwa ''dzielnik'' ma swoją motywację w operacji [[dzielenie|dzielenia]] [[arytmetyka|arytmetycznego]]: jeżeli
: <math>a : b = c,</math>
to <math>a</math> nazywa się [[dzielna|dzielną]], <math>b</math> –- '''dzielnikiem''', a <math>c</math> –- [[dzielenie|ilorazem]].
 
== Własności i dalsze definicje ==
Linia 18:
* Jeżeli <math>a \mid b</math> i <math>b \mid a,</math> to <math>a = b</math> lub <math>a = -b.</math>
 
Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej [[liczba przeciwna|przeciwną]], jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba [[zero]], ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: [[Dzielenie przez zero]]). Dzielniki <math>1,\; -1,\; n,\; -n</math> liczby <math>n</math> nazywa się '''dzielnikami trywialnymi''', wszystkie pozostałe nazywa się z kolei '''nietrywialnymi'''; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się ''[[liczba złożona|liczbami złożonymi]]'', ''[[liczba pierwsza|liczby pierwsze]]'' zaś, to te liczby, które nie mają nietrywialnych dzielników. '''Dzielnikiem właściwym''' liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.
 
'''Podwielokrotnością''' liczby <math>n</math> nazywa się każdą taką liczbę <math>a,</math> dla której <math>n : a</math> jest [[liczby naturalne|liczbą naturalną]], w ten sposób <math>n</math> jest [[wielokrotność|wielokrotnością]] <math>a.</math> W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.
Linia 24:
Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:
* iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]]), z tego powodu przyjmuje się <math>b \ne 0</math> (zob. [[dzielenie przez zero]]). Wtedy dzielnik jest synonimem '''podwielokrotności'' będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym [[ciało (matematyka)|ciele]] (np. [[liczby wymierne|liczb wymiernych]]; jest to prawdą w [[pierścień bez dzielników zera|pierścieniu bez dzielników zera]]) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
* dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek <math>b > 0,</math> dzięki czemu można przykładowo założyć, że [[liczba pierwsza]] jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. [[#Uogólnienia|uogólnienia]]).
 
Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja <math>\tau</math> (zob. [[funkcja τ]]; stosuje się również oznaczenia <math>\sigma_0</math> oraz <math>d</math>), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji <math>\sigma</math> (zob. [[funkcja σ]]).
Linia 46:
== Źródła ==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Reinhardt|imię=Fritz|imię2=Heinrich|nazwisko2=Soeder|tytuł=Atlas matematyki|wydawca=Prószyński i S-ka|miejsce=Warszawa|rok=2003|isbn=83-7469-189-1|strony=121}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Mostowski |imię=A. |nazwisko2=Stark |imię2=M. |tytuł=Elementy algebry wyższej|wydanie=7 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa |rok=1974}}
* {{cytuj książkę |nazwisko=Graham |imię=R. L. |nazwisko2=Knuth |imię2=D. E. |nazwisko3=Patashnik |imię3=O.|tytuł=Matematyka konkretna|wydanie=4 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa|rok=2006 |isbn=83-01-14764-4}}
 
== Zobacz też ==
{{WikisourceWikiźródła|tekst=nie|Tablica liczb pierwszych i rozkładów na czynniki pierwsze|tablicę liczb pierwszych i rozkładów na czynniki pierwsze}}
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[równanie diofantyczne]],
* [[czynnik pierwszy]],
* [[arytmetyka modularna]],
* [[liczba doskonała]].
* [[cecha podzielności]]
 
== Linki zewnętrzne ==
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divisibleto50.html Witryna Math Forum @Drexel]
* {{cytuj stronę| url =http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node54.html | tytuł =Cechy podzielności | data dostępu = 28 września 2008|}}
 
[[Kategoria:Arytmetyka]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Dzielnik”