Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
m Wycofano edycje użytkownika 31.63.231.211 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Januszkaja. |
||
Linia 8:
==Charakterystyka kąta wpisanego w okrąg==
=== Twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku===
''Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary [[kąt środkowy|kąta środkowego]] opartego na tym samym łuku''.
''' Dowód '''
[[Plik:angle02.svg|250px|right|thumb|]]
Niech kąt wpisany ma miarę '''β''', kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę '''α'''
Poprowadźmy z wierzchołka kąta wpisanego promień (na ilustracji czerwony). Podzieli on ten kąt na dwa kąty o miarach
<math>\beta=\beta_1+\beta_2</math> i zarazem wyznaczy on dwa trójkąty równoramienne o kątach wierzchołkowych odpowiednio <math>\gamma_1, \gamma_2</math>.
Dla obu tych równoramiennych trójkątów dostajemy zależności:
:<math>2\cdot\beta_1+\gamma_1=\pi\quad (1)</math>
:<math>2\cdot\beta_2+\gamma_2=\pi\quad (2)</math>
dodając stronami (1) i (2) oraz porządkując otrzymamy:
:<math>2\cdot(\beta_1+\beta_2)=2\pi-(\gamma_1+\gamma_2)</math>
Ponieważ
:<math>2\pi-(\gamma_1+\gamma_2)=\alpha\,</math>
więc
:<math>2\beta=\alpha\,</math>
[[Plik:angle03.svg|250px|right|thumb|]]
'''Uwaga'''
Gdyby kąt środkowy nie mieścił się w odpowiadającym mu kącie wpisanym, to równości (1) i (2) należy odjąć zamiast dodać.
Gdyby wierzchołek kąta środkowego leżał na jednym z ramion kąta wpisanego to spośród równości (1) i (2) rozpatrujemy tylko jedną.
[[Plik:angle04.svg|250px|right|thumb|]]
=== Wnioski ===
| |||