Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 677 bajtów ,  10 lat temu
Ponieważ
: <math>\begin{align} ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \end{align}</math>
(piąta równość nie zachodzi na podstawie [[wzory skróconego mnożenia|wzoru skróconego mnożenia]] na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
: <math>x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 -4 4acab}}{2a}</math>
oraz
: <math>x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.</math>
/><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''−<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br
/><span style="color:#0081cd">■</span> &gt;0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x''−<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
 
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]], o ile <math>\Delta \geqslant 0.</math> Dokładniej, jeśli:
* <math>\Delta > 0,</math> to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
* <math>\Delta = 0,</math> to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
* <math>\Delta < 0,</math> to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
 
Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi [[Ciało Zp|ciałami]] <math>\mathbb Z_p,</math> gdzie <math>p</math> jest pewną [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]] większą od 2.
 
; Przykłady
Anonimowy użytkownik