Przestrzeń T4: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
praktycznie wszystko od nowa |
||
Linia 1:
'''Przestrzeń normalna''' i '''przestrzeń <math>T_4</math>''' to terminy w [[Topologia|topologii]] opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności [[Aksjomaty oddzielania|oddzielania]].
<br>dla każdych zbiorów domkniętych <math> D,E\subset X</math> takich że <math> D\cap E=\emptyset</math> istnieją takie zbiory otwarte <math> U, V\subset X</math>, że :<math> D\subset U, E\subset V</math> oraz <math> U\cap V=\emptyset</math>, gdzie <math>X</math> - rozważana przestrzeń topologiczna.▼
== Definicje ==
<br>Przykłady:▼
Powiemy że w [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>X</math> ''rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte'' jeśli
▲
<div style="text-align: center;">
[[Image:Normal space.png|Zbiory domknięte E i F, przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U i V, przedstawione tutaj jako większe okręgi]]</div>
Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że zbiory domknięte E,F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.
Przestrzeń topologiczna <math>X</math> jest '''przestrzenią normalną''' (albo <math>T_4</math>) wtedy i tylko wtedy gdy <math>X</math> jest [[Przestrzeń T1|przestrzenią T<sub>1</sub>]] w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.
== Dyskusja nazewnictwa ==
Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów '''przestrzeń normalna''' i '''przestrzeń <math>T_4</math>''' w literaturze. Na przykład [[Kazimierz_Kuratowski|Kuratowski]] w swojej monografii<ref>Kuratowski, Kazimierz; ''Topology''; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 121.</ref> definiuje
<ul>
<li> ''przestrzeń normalną'' jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia ''przestrzeni <math>T_4</math>.</li>
</ul>
Z drugiej strony [[Ryszard Engelking|Engelking]] definiuje<ref>Engelking, Ryszard; ''General Topology''; Helderman, Berlin, 1989. Strona 40. ISBN 3-88538-006-4</ref>
<ul>
<li> ''bycie przestrzenią normalną'' i ''bycie przestrzenią <math>T_4</math>'' jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).
</ul>
Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy sie jej trzymać.
*Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią, [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] i ogólniej [[przestrzeń metryczna|przestrzenie metryczne]].
*Każda [[Przestrzeń_zwarta|zwarta]] przestrzeń [[Przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]] jest normalna.
*Każda [[Przestrzeń regularna|regularna]] przestrzeń [[Przestrzeń Lindelöf|Lindelöfa]] jest normalna.
*[[Płaszczyzna Niemyckiego]] jest przykładem [[Przestrzeń Tichonowa|przestrzeni Tichonowa]] która nie jest normalna.
== Własności ==
*Każda przestrzeń normalna jest [[Przestrzeń Tichonowa|przestrzenią Tichonowa]]. Zachodzi nawet mocniejszy ''Lemat Urysohna'':
:Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią normalną i <math>E,F\subseteq X</math> są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje funkcja ciągła <math>F:X\longrightarrow [0,1]</math> taka że <math>f(x)=0</math> dla <math>x\in E</math> oraz <math>f(x)=1</math> dla <math>x\in F</math>.
*Zachodzi nawet następujące silniejsze Twierdzenie Tietzego - Urysohna:
:Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią normalną, <math>F\subseteq X</math> jest jej podzbiorem domkniętym i <math>f:F\longrightarrow{\mathbb R}</math> jest [[Funkcja ciągła|funkcją ciągłą]], to istnieje funkcja ciągła <math>g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> przedłużająca <math>f</math> (tzn taka że <math>g(x)=f(x)</math> dla wszystkich <math>x\in F</math>).
*Żadna [[Przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej [[Przestrzeń topologiczna dyskretna|dyskretnej]] podprzestrzeni mocy [[continuum]].
*Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) [[odwzorowanie domknięte]] jest przestrzenią normalną.
*Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność ''być przestrzenią normalną'' '''nie''' jest własnością dziedziczną). Także [[iloczyn kartezjański]] (z [[Topologia Tichonowa|topologią Tichonowa]]) przestrzeni <math>T_4</math> '''nie''' musi być przestrzenią <math>T_4</math>.
[[de:Normaler Hausdorff-Raum]] [[en:Normal space]] [[es:Espacio normal]] [[he:מרחב נורמלי באופן מושלם]]▼
== Bibliografia ==
[[Kategoria:Topologia|przestrzeń T4]]▼
<references/>
==Zobacz też==
* [[aksjomaty oddzielania]]
* [[przestrzeń Tichonowa]] (<math>T_{3\frac{1}{2}}</math>),
* [[Przestrzeń_T5|przestrzeń dziedzicznie normalna]] (<math>T_5</math>).
[[de:Normaler Hausdorff-Raum]]
[[en:Normal space]]
[[es:Espacio normal]]
▲
| |||