Proces Lévy’ego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Zobacz też: Bot usuwa zbędny szablon {{stub}} |
|||
Linia 5:
# rozkład <math>X_{s+t} - X_s</math> nie zależy od <math>s</math> dla każdych <math>s,t\geq 0</math>,
# proces <math>X_t</math> jest ciągły wg prawdopodobieństwa tzn. dla każdego <math>t\geq 0</math> i dla każdego <math>\varepsilon >0</math>
:: <math>\lim_{s \to t} P(|X_s - X_t| > \varepsilon) = 0</math>.
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy'ego.
Linia 14:
Rozkład procesu Lévy'ego w momencie <math>t\geq 0</math>, <math>X_t</math> jest [[Rozkład nieskończenie podzielny|rozkładem nieskończenie podzielnym]]. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy'ego w chwili t - tzw. wzór Lévy'ego-Chinczyna:
: <math> E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}</math>,
gdzie
: <math> \psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1 - i<u,y> 1_{\| x\| \leqslant 1}(y)\right] \nu(dy), </math>
przy czym
: <math> \nu </math> jest miarą na <math> R^d - \{0\} </math> spełniającą warunek
: <math> \int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \| y \|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, </math>
a <math>A </math> jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję <math>\psi(u)</math> nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy'ego. Trójkę <math>(b,A,\nu)</math> nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy'ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.
Linia 32:
== Rozkład Lévy'ego–Itō ==
Proces Lévy'ego można przedstawić jako sumę
: <math> X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t </math>,
gdzie <math>X^{(1)}</math> jest wielowymiarym procesm Wienera z macierzą kowariancji <math>A</math>, <math>X^{(2)}</math> jest to [[złożony proces Poissona]] o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara <math>\nu(y)1_{\|y\|>1}</math>. Proces <math>X^{(3)}</math> to czysto skokowy [[Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)|martyngał]].
== Przykłady ==
Szczególnymi przypadkami procesu Lévy'ego są:
* [[Proces Poissona]] - jest to najprostszy proces Lévy'ego. Dla d=1 [[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|funkcja charakterystyczna]] jest postaci
: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1))</math>, przy czym <math>z \in \R</math>.
Miara prawdopodobieństwa w punkcie <math>k = 0, 1, 2, \dots</math>: <math>\mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}</math>.
Linia 49:
* [[Proces Cauchy'ego]]. Przy <math>\gamma \in \R, c > 0</math>, miara [[zbiór borelowski|zbioru
borelowskiego]] to:
: <math>\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx,</math> funkcja charakterystyczna to:
: <math>\hat{\mu}(z) = \exp -c|z|+ i\gamma z, \quad z \in \R</math>.
* [[Proces Wienera]]. Jego funkcja charakterystyczna, przy <math>\gamma \in
\R, a > 0</math>, to:
: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (-\frac{1}{2} a z^2 + i \gamma z),\quad z \in \R</math>, miara zbioru borelowskiego to:
: <math> \mu(B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int\limits_B \exp (\frac{-(x-\gamma)^2}{2a} ) d x</math>.
== Zobacz też ==
* [[Przestrzeń mierzalna]],
* [[Prawdopodobieństwo]],
* [[proces stochastyczny|Procesy stochastyczne]].
[[Kategoria:Procesy stochastyczne]]
| |||