Wersja z 03:02, 28 sty 2012 edytuj Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji próba odświeżenia – pierwsze podejście bis ← poprzednia edycja		Wersja z 08:40, 28 sty 2012 edytuj anuluj edycję RJB1 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 3641 edycji Anulowanie wersji nr 29641845 autora Konradek WP:WER, WP:OR następna edycja →
Linia 1: {{Macierz}} '''Rząd [[macierz]]y''' (o elementach z pewnego [[ciało (matematyka)\|ciała]]) - maksymalna liczba [[liniowa niezależność wektorów\|liniowo niezależnych]] [[wektor]]ów tworzących kolumny danej macierzy. '''Rząd''' – w [[algebra liniowa\|algebrze liniowej]] dla danego [[przekształcenie liniowe\|przekształcenia liniowego]] <math>\scriptstyle \mathrm A\colon U \to V</math> między [[przestrzeń liniowa\|przestrzeniami liniowymi]] <math>\scriptstyle U, V</math> nad [[ciało (matematyka)\|ciałem]] <math>\scriptstyle K</math> [[baza (przestrzeń liniowa)\|wymiar]] [[obraz i przeciwobraz\|obrazu]] <math>\scriptstyle \mathrm{im\; A}</math> tego przekształcenia, tzn. liczba [[baza (przestrzeń liniowa)\|wektorów bazowych]] [[podprzestrzeń liniowa\|podprzestrzeni liniowej]] <math>\scriptstyle \mathrm A[U]</math> przestrzeni <math>\scriptstyle V;</math> w literaturze polskojęzycznej oznacza się go m.in. symbolami <math>\scriptstyle \mathrm{r\;A}</math> lub <math>\scriptstyle \mathrm{rz\;A},</math> w literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia <math>\scriptstyle \mathrm{rk\; A},</math> czy <math>\scriptstyle \mathrm{rank\; A}</math><ref>[[Język angielski\|Ang.]] ''rank'', „rząd, szereg”, z [[język normandzki\|norm.]] ''renc'', ''reng''; poch. germ., spokr. z [[język staro-wysoko-niemiecki\|swn.]] ''hring'', „pierścień” (spokr. ze [[język staro-cerkiewno-słowiański\|scs.]] ''krǫgŭ'', „krąg”).</ref>. Jeśli w powyższej definicji zastąpimy słowo "kolumna" słowem "wiersz" dostaniemy równoważną definicję rzędu<ref>Definicje mogą nie być równoważne, jeśli elementy macierzy będą należały do [[pierścień (matematyka)\|pierścienia]] nie będącego ciałem. Może się nawet zdarzyć, że żadnej z tych definicji nie da się poprawnie wprowadzić.</ref>. Istnieją także inne równoważne definicje rzędu, oto dwie z nich: Wszystkie opisane niżej własności dotyczące skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałami przenoszą się wprost na [[moduł skończeniegenerowany\|skończeniegenerowane]] [[moduł wolny\|moduły wolne]] nad [[pierścień przemienny\|pierścieniami przemiennymi]] (które można opisywać za pomocą [[macierz]]y nad tymi pierścieniami), dla których istnieje [[izomorfizm]] między danym [[moduł (matematyka)\|modułem]] a [[moduł dualny\|modułem dualnym]] do niego; w ogólności może się zdarzyć, że rzędy tych przekształceń będą różne albo nawet nie możliwe do poprawnego zdefiniowania. W [[analiza funkcjonalna\|analizie funkcjonalnej]], gdzie bada się przekształcenia liniowe między nieskończeniewymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z dodatkowymi strukturami), przekształcenia mające skończony rząd nazywa się ''[[operator skończonego rzędu\|operatorami skończonego rzędu]]''. * Rząd macierzy jest to wymiar [[powłoka liniowa\|powłoki liniowej]] rozpiętej na wektorach będących kolumnami (wierszami) macierzy. * Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego [[minor]]a danej macierzy. Rząd macierzy <math> A </math> w polskiej literaturze oznacza się zazwyczaj symbolem <math>\mbox{rz}A</math>. W literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia <math>\mbox{rk}A</math>, <math>\mbox{rank}A</math>. ~~== Macierze ==~~ ~~{{zobacz też\|przestrzeń współrzędnych\|macierz}}~~ Jeżeli <math>\scriptstyle U, V</math> są skończonego wymiaru odpowiednio <math>\scriptstyle n, m,</math> to rząd <math>\scriptstyle \mathrm A</math> również jest skończony i jest nie większy niż <math>\scriptstyle m</math> (gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w <math>\scriptstyle U</math> i <math>\scriptstyle V</math> [[baza (przestrzeń liniowa)\|bazy]], odpowiednio <math>\scriptstyle B = (\mathbf b_i)_i</math> oraz <math>\scriptstyle C = (\mathbf c_j)_j,</math> wprowadza się izomorfizmy <math>\scriptstyle U \to K^n</math> i <math>\scriptstyle V \to K^m.</math> W ten sposób przekształcenie <math>\scriptstyle \mathrm A\colon U \to V</math> można zapisać we współrzędnych (w bazach <math>\scriptstyle B, C</math>) w postaci przekształcenia <math>\scriptstyle K^n \to K^m;</math> korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A</math> typu <math>\scriptstyle m \times n</math> nazywanej macierzą przekształcenia liniowego <math>\scriptstyle \mathrm A</math> w bazach <math>\scriptstyle B, C.</math> Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia <math>\scriptstyle \mathrm A</math> jak i jego macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A,</math> to obiekty te zbiorczo będą oznaczane <math>\scriptstyle \boldsymbol A.</math> == Podstawowe własności == ~~; Przekształcenia liniowe i ich macierze~~ Załóżmy, że <math>A</math> jest macierzą o wymiarze <math> m \times n .</math> Wówczas: {{zobacz też\|przekształcenie liniowe\|macierz przekształcenia liniowego}}▼ * <math> \operatorname{rz} A \leqslant \min (m,n) .</math> Ponieważ kolumny macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A</math> są obrazami wektorów bazy <math>\scriptstyle B</math> w przekształceniu <math>\scriptstyle \mathrm A,</math> to rozpinają one w <math>\scriptstyle K^m</math> podprzestrzeń izomorficzną z obrazem <math>\scriptstyle \mathrm A[U];</math> dlatego '''rząd''' macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A</math> można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy [[Macierz#Klasy macierzy a wybór bazy\|macierzy podobnych]] są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru. W szczególności [[operacje elementarne]] zachowują rząd, co oznacza, że do jego obliczenia można wykorzystać [[metoda eliminacji Gaussa\|metodę eliminacji Gaussa]] (lub [[metoda eliminacji Gaussa-Jordana\|metodę eliminacji Gaussa-Jordana]]): wówczas rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy macierzy wynikowej mającej [[macierz schodkowa\|postać schodkową]] (zwykłą lub zredukowaną). * <math> \operatorname{rz} A = 0 \Leftrightarrow A = 0 </math> (tj. <math> A </math> jest [[macierz zerowa\|macierzą zerową]]). * [[Macierz kwadratowa]] jest [[macierz odwrotna\|odwracalna]] wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd równy jest jej stopniowi. * Jeśli <math> B </math> jest macierzą o wymiarze <math> n \times k </math> rzędu <math> n </math>, to <math> \operatorname{rz} (AB) = \operatorname{rz}A. </math> Podobnie, jeśli <math> C </math> jest macierzą o wymiarze <math> l \times m </math> rzędu <math> m </math>, to <math> \operatorname{rz}(CA) = \operatorname{rz}A. </math> * Dla macierzy kwadratowych <math> A </math> i <math> B </math> stopnia <math> n </math> zachodzi nierówność : <math> \operatorname{rz} A + \operatorname{rz} B - n \leqslant \operatorname{rz} (AB) </math> : nazywana ''nierównością Sylvestera o rzędach''. Jeśli <math> B </math> jest macierzą o wymiarze <math> m \times n </math>, to <math> \operatorname{rz}(A+B) \leqslant \operatorname{rz} A + \operatorname{rz} B . </math> * <math> \operatorname{rz}A^T = \operatorname{rz}A </math>, czyli [[macierz transponowana\|transpozycja]] nie zmienia rzędu. * [[Operacje elementarne]] nie zmieniają rzędu macierzy. == Rząd przekształcenia liniowego == ~~; Przekształcenia dualne i macierze transponowane~~ ▲{{~~zobacz też~~seealso\|~~przekształcenie liniowe\|macierz~~Macierz przekształcenia liniowego}} ~~{{zobacz też\|moduł dualny#Przekształcenia dualne\|o1=przekształcenie dualne\|macierz transponowana}}~~ Niech <math>V</math> i <math>W</math> będą, odpowiednio, ''n''- i ''m''-wymiarowymi [[przestrzeń liniowa\|przestrzeniami liniowymi]] nad tym samym ciałem oraz <math> A : V \to W </math> będzie [[przekształcenie liniowe\|przekształceniem liniowym]]. Jeśli <math>(v_1, \ldots, v_n)</math> i <math>(w_1, \ldots, w_m)</math> są [[baza przestrzeni liniowej\|bazami]] przestrzeni, odpowiednio, <math>V</math> i <math>W</math>, to przekształcenie ''A'' można utożsamiać z macierzą o ''m'' wierszach i ''n'' kolumnach. Okazuje się, że rząd tej macierzy nie zależy od wyboru baz (chociaż ona sama tak). Rząd macierzy przekształcenia liniowego nazywamy '''rzędem przekształcenia liniowego'''. Liczba ta ma związek z własnościami samego przekształcenia: Jeśli <math>\scriptstyle U, V</math> są skończeniewymiarowe, to istnieje wtedy [[izomorfizm]] między tymi przestrzeniami a [[moduł dualny\|przestrzeniami dualnymi]] <math>\scriptstyle U^\star, V^\star;</math> przekształceniu <math>\scriptstyle \mathrm A\colon U \to V</math> odpowiada wtedy przekształcenie dualne <math>\scriptstyle \mathrm A^\star\colon V^\star \to U^\star,</math> któremu odpowiada z kolei macierz transponowana <math>\scriptstyle \mathbf A^\mathrm T.</math> W związku z tym, że dualizacja jest izomorfizmem, przekształcenie <math>\scriptstyle \mathrm A^\star</math> ma rząd równy rzędowi <math>\scriptstyle \mathrm A,</math> a rząd macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A^\mathrm T</math> jest równy rzędowi macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A.</math> Wprost stąd wynika, że rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol A</math> nie może również przekraczać <math>\scriptstyle m;</math> w połączeniu z obserwacją z pierwszego akapitu oznacza to więc, iż rzędy te są nie większe niż mniejsza z liczb <math>\scriptstyle m, n.</math> * Przekształcenie <math> A </math> jest [[funkcja różnowartościowa\|różnowartościowe]] wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy ''n''. * Przekształcenie <math> A </math> jest [[suriekcja\|"na"]] wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd jest równy ''m''. == Zobacz też == Ponieważ transpozycja macierzy zamienia rolami jej wiersze i kolumny, to rząd macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A</math> zwykło nazywać się '''rzędem kolumnowym''', a z kolei rząd macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A^\mathrm T</math> – '''rzędem wierszowym''' macierzy <math>\scriptstyle \mathbf A.</math> Tłumaczy to, dlaczego zazwyczaj pojęcia te definiuje się odpowiednio jako maksymalną liczbę [[liniowa niezależność\|liniowo niezależnych]] wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy bądź inaczej: [[baza (przestrzeń liniowa)\|wymiar]] [[podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa\|powłoki liniowej]] rozpiętej na wektorach będących kolumnami lub wierszami danej macierzy. * [[sygnatura macierzy]] * [[metoda Gaussa#Obliczanie rzędu macierzy\|obliczanie rzędu macierzy przy pomocy metody eliminacji Gaussa]] ~~; Wyznacznik~~ ~~{{zobacz też\|wyznacznik}}~~ Ponieważ do określenia liniowej niezależności wektorów, kolumnowych bądź wierszowych, macierzy można wykorzystać wyznacznik, to rząd macierzy można wyznaczyć jako największy stopniem niezerowy [[minor]] tej macierzy; czasami własność ta wykorzystywana jest jako definicja tzw. '''rzędu wyznacznikowego''' macierzy. W interpretacji geometrycznej oznacza to, że rząd układu wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy jest równy największemu wymiarowi [[równoległościan wielowymiarowy\|wielowymiarowego równoległościanu]] rozpinanego przez te wektory. ~~; Własności~~ Rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol A</math> jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie jest [[trywialność (matematyka)\|trywialne]] (tzn. odwzorowujące wszystkie wektory w [[wektor zerowy]]), bądź macierz jest [[macierz zerowa\|zerowa]]. Przekształcenie <math>\scriptstyle \mathrm A</math> jest [[funkcja różnowartościowa\|różnowartościowe]] (monomorifzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd <math>\scriptstyle \mathrm A = n,</math> tzn. ma „pełny rząd kolumnowy”, oraz [[funkcja "na"\|na]] (epimorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd <math>\scriptstyle \mathrm A = m,</math> tzn. ma „pełny rząd wierszowy”. Ponadto jeśli <math>\scriptstyle \mathrm B\colon U \to V</math> z macierzą <math>\scriptstyle \mathbf B</math> typu <math>\scriptstyle n \times m,</math> to rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol A + \boldsymbol B\ \leqslant</math> rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol A\ +</math> rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol B.</math> Jeśli zaś <math>\scriptstyle X, Y</math> są przestrzeniami liniowymi nad <math>\scriptstyle K</math> odpowiednio wymiaru <math>\scriptstyle k, l</math> i dane są przekształcenia <math>\scriptstyle \mathrm C\colon X \to U</math> z macierzą <math>\scriptstyle \mathbf C</math> typu <math>\scriptstyle n \times k</math> rzędu <math>\scriptstyle n</math> oraz <math>\scriptstyle \mathrm D\colon V \to Y</math> z macierzą <math>\scriptstyle \mathbf D</math> typu <math>\scriptstyle l \times m</math> rzędu <math>\scriptstyle m,</math> to rzędy <math>\scriptstyle \boldsymbol{AC}</math> oraz <math>\scriptstyle \boldsymbol{DA}</math> są równe rzędowi <math>\scriptstyle \boldsymbol A.</math> Niech <math>\scriptstyle \mathrm M, \mathrm N\colon U \to U</math> będą endomorfizmami, a <math>\scriptstyle \mathbf M, \mathbf N</math> oznaczają ich kwadratowe macierze stopnia <math>\scriptstyle n.</math> Wówczas z połączenia powyższych stwierdzeń o różnowartościowości i byciu „na” wynika, że endomorfizm <math>\scriptstyle \mathrm M</math> jest [[funkcja odwrotna\|odwracalny]] (izomorfizmem) bądź jego macierz <math>\scriptstyle \mathbf M</math> jest [[macierz odwrotna\|odwracalna]] wtedy i tylko wtedy, gdy rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol M = n,</math> tzn. ma „pełny rząd”. Zachodzi również tzw. ''nierówność Sylvestera o rzędzie'': rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol M +</math> rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol N\ \leqslant\ n +</math> rząd <math>\scriptstyle \boldsymbol{MN}.</math> ~~== Bibliografia ==~~ ~~{{bibliografia\|~~ * {{cytuj książkę\|imię=Paul Richard\|nazwisko=Halmos\|autor link=Paul Halmos\|tytuł=Finite-dimensional Vector Spaces\|wydawca=Springer\|wydanie=2\|rok=1987\|isbn=0-387-90093-4}} }} {{przypisy}}

Rząd macierzy: Różnice pomiędzy wersjami