|
<b>'''System LTI</b>''', czyli <b>''' system liniowy niezmienniczy w czasie</b>''', to [[System|system]], który jest [[Przekształcenie liniowe|liniowy]] ze względu na wszystkie swoje [[Zmienna (matematyka)|argumenty]] (czyli elementy) w dowolnej chwili [[czas|czasu]]u.
{|align="full"
== Wstęp ==
==== Interpretacja pojęcia sygnału ====
<b>'''[[Sygnał]]</b>''' to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej [[Wielkość fizyczna|wielkości fizycznej]], który jest zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju [[Funkcja|funkcję]] postaci <i>''x</i>''(<i>''t</i>''). Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla <b>'''każdego</b>''' i dowolnego czasu <i>''t</i>''. Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość <i>''x</i>'' tylko dla skończonej liczby czasów -– przykładowo dla <i>''t</i>'' = 2 [[sekunda|s]] zmierzono <i>''x</i>'' = 0,001 (<i>''x</i>''(<i>''2</i>'') = 0,001), dla <i>''t</i>'' = 10,8 s otrzymano <i>''x</i>'' = -1991 (<i>''x</i>''(<i>''10,8</i>'') = -1991) itd. Nie można jednak zmierzyć wartości <i>''x</i>'' dla każdej wartości <i>''t</i>'', gdyż wartości <i>''t</i>'' jest <b>'''nieskończenie</b>''' wiele.
Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób [[Ciągłość|ciągły]] (<i>''x</i>''(<i>''t</i>'')), korzysta się z wartości [[Dyskretny|dyskretnychdyskretny]]ch: <i>''x</i>''[<i>''n</i>''], gdzie <i>''n</i>'' = 0, 1, 2, 3, ... Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego [[Dźwięk|dźwiękudźwięk]]u, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości <i>''x</i>'' [[Natężenie dźwięku|natężenia dźwięku]] dla <i>''n</i>'' = 0 sekundy, <i>''n</i>'' = 1 sekundy, <i>''n</i>'' = 2 sekundy i <i>''n</i>'' = 3 sekundy. Zapisuje się to jako <b><i>'''''x</i>''[n] = [9, 0, -9, -18]</b>''', skąd <i>''x</i>''[0] = 9, <i>''x</i>''[1] = 0, <i>''x</i>''[2] = -9 i <i>''x</i>''[3] = -18.
Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.
Zapis <i>''x</i>''[<i>''n</i>''] (lub <i>''x</i>'') rozumie się po prostu jako sygnał.
==== Interpretacja pojęcia systemu ====
<b>'''[[System]]</b>''' w tym wypadku należy rozumieć jako <b>'''dowolną</b>''' fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być [[Filtr (elektronika)|filtr]]. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:
<math>x[n] \xrightarrow[\text{system}]{} y[n]</math>,
gdzie <i>''y</i>'' to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, <i>''x</i>''[<i>''n</i>''] i <i>''y</i>''[<i>''n</i>''] to [[Wektor#Reprezentacje|wektory]], a system jest [[Operator|operatoremoperator]]em (czyli pewną [[Macierz|macierząmacierz]]ą).
Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:
<math>x[n] \xrightarrow[T\{\}]{} y[n] = T\{x[n]\}</math>,
gdzie <i>''T</i>'' oznacza system.
== Pojęcia opisujące system ==
==== Liniowość systemu ====
Niech dany będzie sygnał postaci <i>''ax</i>''<sub>1</sub> + <i>''bx</i>''<sub>2</sub>, gdzie <i>''a</i>'' i <i>''b</i>'' to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a <i>''x</i>''<sub>1</sub> i <i>''x</i>''<sub>2</sub> to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.
System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu <i>''ax</i>''<sub>1</sub> + <i>''bx</i>''<sub>2</sub> w następujący sposób:
<math>T\{ax_1 + bx_2\} = aT\{x_1\} + bT\{x_2\}</math>,
==== Sekwencja jednostkowa ====
Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano <b>'''sekwencję jednostkową</b>''' o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:
<math> \delta [n] =
Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...].
Z powyższej definicji, sygnał δ[n -– k] ma postać
<math> \delta [n - k] =
</math>.
Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza <i>''k</i>''-tym (<i>''k</i>'' jest [[liczby całkowite|liczbą całkowitą]]).
Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał <i>''x</i>'' jako pewną [[Dodawanie|sumę]] sekwencji jednostkowych:
<math>x[n] = \sum_{k=0}^N x[k] \delta [n-k]</math>.
gdzie <i>''N</i>'' -– liczba elementów sygnału. Przykładowo:
<math>x[n] = [9, 0, -9, -18]</math>,
== System LTI ==
Sygnał <i>''x</i>'' opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał <i>''y</i>'', będący <b>'''odpowiedzią systemu</b>''':
<math>y[n] = T\{x[n]\} = T\{\sum_{k=0}^N x[k] \delta [n-k] \}</math>.
<math>y[n] = \sum_{k=0}^N x[k] h[n-k]</math>.
System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. <i>''linear time-invariant</i>''). <b>'''Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową ([[Widmo_Widmo (spektroskopia)#Metoda_analizy_widm_i_jej_zastosowanieMetoda analizy widm i jej zastosowanie|pik]]), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał <i>''x</i>''!</b>'''
Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją [[Splot (analiza matematyczna)|splotu]]:
== Zobacz też ==
* [[próbkowanie]]
* [[Widmo_Widmo (spektroskopia)|widmo]]
* [[cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]
* [[cyfrowe przetwarzanie obrazów]]
| 