Transformacja Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

Jednym ze sposobów na zrozumienie co otrzymuje się w wyniku takiego działania polega na zwróceniu się ku [[Analiza Fouriera|analizie Fouriera]]. W [[Analiza Fouriera|analizie Fouriera]], krzywe [[harmoniczna|harmoniczne]] [[sinus]] i [[cosinus]] (z [[wzór Eulera|wzoru Eulera]] mamy bowiem <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x\,</math>, zob. też [[szereg Fouriera]]) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też [[widmo sygnału]]). Transformacja 's' (powszechnie określana mianem transformacji Laplace'a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie <math>e^{-st}\,</math> ujmuje nie tylko częstotliwości ale również rzeczywiste efekty <math>e^{-t}\,</math>. Transformacja 's' uwzględnia więc nie tylko [[charakterystyka częstotliwościowa|przebiegi częstotliwościowe]] ale także efekty a charakterze zaniku. Na przykład [[Drgania tłumione|krzywa sinusoidalna tłumiona]] może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'. Transformacja Laplace'a stanowi więc uogólnienie [[Transformacja Fouriera|transformacji Fouriera]]. Ściślej [[transformata Fouriera|przekształcenie Fouriera]] stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace'a dla <math>s=j\omega</math>. Podobnie [[transformata Z|transformata Z]] stanowi uogólnienie [[dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]].