Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:angle01.svg|170px|right|thumb|Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku]]

 

Wg oznaczeń na rysunku obok, kąt ''PQR'' jest wpisany i mówimy, że jest '''oparty''' na [[łuk (matematyka)|łuku]] ''PR''. Jeżeli kąt wpisany oparty jest na [[półokrąg|półokręgu]], to mówimy również, że jest oparty na średnicy.

Z pojęciem '''kąta wpisanego''' związane jest pojęcie [[kąt środkowy|kąta środkowego]].

 

 

''Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary [[kąt środkowy|kąta środkowego]] opartego na tym samym łuku''.

<math>\beta=\beta_1+\beta_2</math> i zarazem wyznaczy on dwa trójkąty równoramienne o kątach wierzchołkowych odpowiednio <math>\gamma_1, \gamma_2</math>.

Dla obu tych równoramiennych trójkątów dostajemy zależności:

 

dodając stronami (1) i (2) oraz porządkując otrzymamy:

 

Ponieważ

 

więc

 

[[Plik:angle03.svg|250px|right|thumb|]]

[[Plik:angle04.svg|250px|right|thumb|]]

=== Wnioski ===

* Dowolny kąt wpisany oparty na półokręgu (czyli oparty na średnicy) jest kątem prostym tzn. ma miarę 90°. Ten [[Twierdzenie Talesa (okrąg)|szczególny przypadek]] był już znany [[Tales z Miletu|Talesowi]].

 

* Dowolne dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe tzn. mają tę samą miarę.

 

Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to zachodzą trzy przypadki:

# Oba ramiona są siecznymi okręgu, tzn. zawierają pewne cięciwy tego okręgu. Wtedy kąt wycina z okręgu dwa łuki rozłączne.

 

''Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to miara tego kąta jest równa połowie różnicy miedzy kątem środkowym opartym na łuku dalszym a kątem środkowym opartym na łuku bliższym.''

'''Dowód.''' Niech oba ramiona kąta <math>\gamma</math> przecinają okrąg o środku ''A'' i promieniu ''r''. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach ''C'' i ''D'', a drugie w punktach ''B'' i ''D'' (jak na rysunku). Niech ''F'' będzie wierzchołkiem tego kąta, <math>\alpha_1 = \ang BAD</math> i <math>\beta_1 = \ang CAE</math> są kątami środkowymi opartymi na łukach ''BD'' i ''CE''. Ponadto kąty <math>\alpha = \ang BCD</math> oraz <math>\beta = \ang CBE</math> są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli <math>\alpha = 0,5 \cdot \alpha_1</math> i <math>\beta = 0,5 \cdot \beta_1</math>. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że <math>\beta = \alpha + \gamma</math>, czyli

 

co kończy dowód w tym przypadku.

W pozostałych przypadkach (kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym oraz kąt o obu ramionach stycznych do okręgu) dowód jest taki sam. Wykorzystuje twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta i łatwo go odtworzyć, posługując się poniższymi rysunkami.

 

 

'''Twierdzenie 2'''

 

'''Dowód.''' Ramiona kąta γ i ich przedłużenia przecinają okrąg odpowiednio w punktach ''C'' i ''E'' oraz ''D'' i ''B''. Kąt γ jest kątem zewnętrznym trójkąta ''BCF'', czyli jest równy sumie <math>\alpha + \beta</math>. Natomiast kąty <math>\ang DCB = \alpha</math> i <math>\ang CBE = \beta</math> są kątami wpisanymi w okrąg, opartymi odpowiednio na łukach ''DB'' i ''CE'' i dlatego

 

co kończy dowód.

 

* Jeśli kąt jest oparty na łuku okręgu i nie jest kątem wpisanym w okrąg, to jego miara jest różna od połowy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

* Zbiór punktów, z których dany odcinek jest widziany pod określonym kątem jest łukiem pewnego okręgu.

 

* [[kąt środkowy]]

* [[kąt dopisany]]