Dowód, że szereg <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(n)\right) \cdot (\ln^k(n))^s}</math>, gdzie ''<math>k''∈[[liczby naturalne|\in\mathbb{N<sub>0}</submath>]], ''<math>m''>\exp<sup>''^k''</sup>(0)</math>, a ''f''<supmath>''\ln^k''</sup>(''x'')</math> oznacza <math>k</math>-krotne [[złożenie funkcji]] jest zbieżny dla <math>s>1</math> i rozbieżny dla <math>0<s≤1<s\leq 1</math>.
Po pierwsze dla ''<math>k''=0</math> mamy <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}</math>, gdzie ''<math>m''>0</math>. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki <math>\int\limits_{m}^\infty {dx \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}dx} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = {m^{-s+1} \over -s+1} - \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1}</math>, co ma sens dla -''s''+1<0, czyli ''s''>1.
gdy <math>-s+1<0</math>, czyli gdy <math>s>1</math>.
W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać <math>\int\limits_{m}^\infty{dx \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(x)\right) \cdot (\ln^k(x))^s}</math>. Przez podstawienie ''<math>y''=''\ln''(''x'')</math> otrzymujemy (''<math>dy=dx/x''</math>) <math>\int\limits_{\ln(m)}^\infty{dy \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} \ln^i(y)\right) \cdot (\ln^{k-1}(y))^s}</math>, czyli całkę dla ''<math>k''-1</math>. Metodą [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy ''<math>s''>1</math>. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek.
