Funkcja jednostajnie ciągła: Różnice pomiędzy wersjami

Jeśli <math>f:X\to Y</math> jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi <math>(X,\varrho), (Y, \sigma)</math>, to ciągłość <math>f</math> oznacza, że dla każdego punktu <math>x\in X</math> i każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje <math>\delta_{x,\varepsilon}>0</math> (ideks dolny przy <math>\delta</math> oznacza, że liczba ta zależy od <math>x</math> i <math>\varepsilon</math>) taka, że obraz <math>f(K(x,\delta_{x,\varepsilon}))</math> kuli <math>K(x,\delta_{x,\varepsilon})</math> o środku <math>x</math> i promieniu <math>\delta_{x,\varepsilon}</math> zawiera się w kuli o środku <math>f(x)</math> i promieniu <math>\varepsilon</math>. Tymczasem jednostajna ciągłość <math>f</math> oznacza, że dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje <math>\delta_{\varepsilon}>0</math> taka, że obraz <math>f(K)</math> dowolnej kuli <math>K</math> o promieniu <math>\delta_{\varepsilon}</math> zawiera się w kuli o promieniu <math>\varepsilon</math>. Jak widać jednostajna ciągłość to warunek silniejszy niż ciągłość.

 

2. Jeśli <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest [[ciąg Cauchy'ego|ciągiem Cauchy'ego]] elementów <math>X</math> oraz <math>f</math> jest jednostajnie ciągła, to ciąg <math>(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}</math> jest również ciągiem Cauchy'ego.

 

'''Dowód.''' Niech <math>\varepsilon>0</math>. Na mocy jednostajnej ciągłości <math>f:X\to Y</math> istnieje liczba <math>\delta>0</math> taka, że dla dowolnych <math>x,y\in X</math> takich, że <math>\varrho(x,y)<\delta</math> mamy <math>\sigma(f(x),f(y))<\varepsilon.</math> Skoro <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje liczba <math>N\in\mathbb{N}</math> taka, że <math>\varrho(x_n,x_k)<\delta</math> dla dowolnych <math>n,k\geq N</math>. Zatem <math>\sigma(f(x_n),f(x_k))<\varepsilon</math> dla dowolnych <math>n,k\geq N</math>. To dowodzi, że ciąg <math>(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}</math> jest ciągiem Cauchy'ego.<math>\;_\square</math>

 

3. Jeśli funkcja spełnia [[warunek Lipschitza]], to jest jednostajnie ciągła.