Minor: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
nie pelna -> niepelna |
poszerzone, poprawione |
||
Linia 1:
'''Minor stopnia''' k [[macierz|macierzy]] A o m wierszach i n kolumnach, tak że k ≤ min(m,n) to [[wyznacznik macierzy kwadratowej]] [[stopień macierzy|stopnia]] k powstałej z macierzy A przez skreślenie (m-k) wierszy i (n-k) kolumn. Minorami stopnia k=1 są komórki macierzy.
Jeśli przyjmiemy <math>I = \{i_1, i_2, \cdots,i_k\} \subseteq \{1,2, \cdots,m\}</math> oraz <math>J = \{j_1, j_2, \cdots, j_k\} \subseteq \{1,2,\cdots,n\}</math>, to minorem <math>[A]_{I,J}</math> nazywamy minor stopnia k utworzony przez skreślenie wierszy macierzy A o numerach nie należących do zbioru I i kolumn macierzy A o numerach nie należących do zbioru J.
Gdy I=J, minor <math>[A]_{I,J}</math> nazywamy '''minorem głównym'''.
Minor główny stopnia k, w którym <math>I=J=\{1,2, \cdots, k\}</math> nazywamy '''wiodącym minorem głównym''' stopnia k.
== Przykład ==
Przyjmijmy macierz
<math>A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & 4 & 2 \\
0 & 3 & 1 & 1 \\
7 & 1 & 3 & 4
\end{bmatrix}</math>
o 3 wierszach, 4 kolumnach, wyrazach z ciała [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
Niech <math>I=\{1,3\} , J=\{1,4\}</math>. Mamy:
<math>[A]_{I,J} = \begin{vmatrix}
1 & \not 3 & \not 4 & 2 \\
\not 0 & \not 3 & \not 1 & \not 1 \\
7 & \not 1 & \not 3 & 4
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
7 & 4
\end{vmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot7 = -10</math>
Powyższy minor nie jest minorem głównym, ponieważ <math>I \not = J</math>. Minorem głównym jest na przykład minor:
<math>\begin{vmatrix}
3 & 1\\
1 & 3\end{vmatrix} = 8</math> utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o numerach 2 i 3.
Wiodącymi minorami głównymi macierzy A są:
<math>\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}=1</math> , <math>\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 & 3\end{vmatrix}=3</math> , <math>\begin{vmatrix}
1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 1 \\
7 & 1 & 3\end{vmatrix}=-55</math>.
== Własności ==
* W każdej macierzy [[rząd macierzy|rzędu]] r>0 o wyrazach z [[ciało (matematyka)|ciała]] K istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia r, zaś każdy minor stopnia wyższego od r tej macierzy jest równy zeru ciała K.
* W macierzy kwadratowej stopnia n istnieje n wiodących minorów głównych.
* Macierz A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie n wiodących minorów głównych macierzy A jest dodatnie.
==Zobacz także==
| |||