Wersja z 18:01, 4 kwi 2011 edytuj 89.72.24.200 (dyskusja) →‎Przykłady: lit. ← poprzednia edycja		Wersja z 20:50, 19 lip 2012 edytuj anuluj edycję Micpol (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 56 292 edycje m WP:SK, poprawa linków następna edycja →
Linia 1: {{Spis treści}} '''Grupa wolna''' – [[grupa (matematyka)\|grupa]] zawierająca [[podzbiór]] o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako [[~~grupa~~Grupa ~~multiplikatywna~~multyplikatywna\|iloczyn]] [[zbiór skończony\|skończenie wielu]] elementów tego podzbioru oraz ich [[element odwrotny\|odwrotności]] (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak <math>st^{-1} = su^{-1}ut^{-1}</math>, gdzie <math>s, t, u</math> należą do takiego podzbioru). Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy '''wolnym układem generatorów''' lub '''bazą''' grupy. == Definicja formalna == Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę <math>F</math> nazywamy '''wolną''', gdy zawiera podzbiór <math>X \subseteq F\,</math> taki, że każde [[funkcja ~~(matematyka)~~\|przekształcenie]] <math>X\,</math> w dowolną grupę <math>G\,</math> można przedłużyć jednoznacznie do [[homomorfizm]]u <math>f\colon F \to G\,</math>. Można udowodnić, że każdy taki zbiór <math>X\,</math> musi być układem generatorów grupy <math>F\,</math>, tzn. nie ma [[podgrupa\|podgrupy]] <math>F' \subseteq F\,</math> Linia 14: == Własności == * Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów. * Każda grupa <math>G\,</math> jest [[~~obraz~~Obraz ~~(matematyka)~~i przeciwobraz\|obrazem]] ustalonego homomorfizmu <math>h\,</math> pewnej grupy wolnej <math>F\,</math>. * Jeżeli <math>H = \ker h\,</math>, to obraz układu wolnych generatorów grupy <math>F\,</math> tworzy układ generatorów grupy <math>G\,</math>. * '''Układem relacji''' dla tych generatorów nazywamy [[układ równań]] taki, że <math>f(k) = e\,</math>, gdzie <math>k \in H\,</math> są generatorami <math>H\,</math> (<math>e\,</math> oznacza [[element neutralny]] grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę <math>G\,</math>. Linia 27: ** <math>llPlpL=ll\;</math> * <math>llPlpLpp=\varnothing</math> czyli ciąg pusty. : tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: <math>\{l ,L\}</math> . Elementem odwrotnym do <math>l</math> jast <math>p</math>; odwrotnym do <math>L</math> jest <math>P</math>. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter <math>\langle l,\ p\rangle</math> oraz <math>\langle L,\ P\rangle</math>. Elementem neutralnym - ciąg pusty. <!-- łatwiej (i konkretniej) byłoby wyrazić to w języku pętli, język już istnieje: zapraszam --> == Zobacz też == [[grupa rozwiązalna]], * [[homomorfizm]]. [[Kategoria:Teoria grup]]

Grupa wolna: Różnice pomiędzy wersjami