Wikipedia

Hamiltonian: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Wycofano ostatnią zmianę treści (zrobioną przez 77.254.211.228) i przywrócono wersję 32158706 autorstwa EmausBot. WGLP
do operator Hamiltona, definicja
Linia 1:
jest'''Hamiltonian''' funkcją(funkcja [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]) – w [[mechanika klasyczna|klasycznej mechanice]] teoretycznej funkcja [[współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] i [[pęd uogólniony|pędów uogólnionych]], opisującą układ fizyczny.▼
==Mechanika klasyczna==
W [[mechanika klasyczna|klasycznej mechanice]] teoretycznej hamiltonian (funkcja [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]])
▲jest funkcją [[współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] i [[pęd uogólniony|pędów uogólnionych]], opisującą układ fizyczny.
 
<math>H = H\left( q_1,... \dots, q_N, p_1,... \dots, p_N,t t \right)</math>
: gdzie <math>q_j</math> oznaczają współrzędne uogólnione, <math>p_j</math> pędy uogólnione, <math>N</math> liczbę [[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]], a <math>t</math> czas.▼
 
Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. [[równania Hamiltona]] i [[równanie Hamiltona-Jacobiego]]. W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] odpowiada mu [[operator Hamiltona]].
▲gdzie <math>q_j</math> oznaczają współrzędne uogólnione, <math>p_j</math> pędy uogólnione, <math>N</math> liczbę [[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]], a <math>t</math> czas.
 
=== Sformułowanie lagranżowskie ===
Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z [[Lagranżjan|lagranżjanulagranżjan]]u.▼
 
: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)</math>▼
▲Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z [[Lagranżjan|lagranżjanu]].
 
gdzie <math>q_j</math> oznacza współrzędne uogólnione, <math>\dot q_j</math> prędkości uogólnione, <math>t</math> czas.▼
▲:<math>\mathcal{L}= \mathcal{L}(q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)</math>
 
▲gdzie <math>q_j</math> oznacza współrzędne uogólnione, <math>\dot q_j</math> prędkości uogólnione, t czas.
Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako
 
: <math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>
 
W szczególnym przypadku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnych kartezjańskich]] pędy uogólnione odpowiadają zwykłym [[pęd (fizyka)|pędom]]. We [[Układ współrzędnych walcowych|współrzędnych walcowych]] pęd odpowiadający [[Prędkość kątowa|prędkości kątowej]] odpowiada [[Moment pędu|momentowi pędu]]. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.
 
W tym ujęciu '''Hamiltonian'''hamiltonian definiowany jest jako [[transformacja Legendre'a]] [[Lagranżjanlagranżjan]]u, tzn.
 
:<math>H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t \right)
= \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )</math>▼
 
Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją▼
pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.
 
== Mechanika kwantowa ==
{{integruj|Operator Hamiltona}}
W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] hamiltonian jest [[operator Hamiltona|operatorem energii]]. Używa się go do opisywania wszystkich [[układ kwantowy|układów kwantowych]], a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potencjale skalarnym jest równy
<center><math>H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2+U(\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +U(\vec{x})</math></center>
Wartości własne hamiltonianu
:<math>H |n\rangle =E_n |n\rangle</math>
mają sens energii układu w stanie <math>\vert n \rangle</math>.
 
Jeżeli założymy że hamiltonian <math>\mathcal{H}</math> nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania:
 
:<math>
i\hbar \frac{d}{dt} \vert \alpha_{s}(t)\rangle = \mathcal{H}\vert \alpha_{s}(t)\rangle, \ \ \
-i\hbar \frac{d}{dt} \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t) \vert \mathcal{H}
</math> ponieważ <math>\mathcal{H}^{\dagger} = \mathcal{H}</math>.
są:
 
:<math>
\vert\alpha_{s}(t)\rangle = U(t)\vert\alpha_{s}(t_{0})\rangle, \ \ \
\langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t_{0}) \vert U^{\dagger}(t)
</math>
gdzie
 
:<math>U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}*(t-t_{0})}</math> jest operatorem ewolucji w czasie. A <math>\vert \alpha_{s}(t) \rangle </math> jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.
 
▲: <math>H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )</math>
== Zobacz też ==
 
▲Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.
* [[Równania Hamiltona]]
* [[Lagranżjan]]
* [[Równania Eulera-Lagrange'a]]
* [[Mechanika klasyczna]]
* [[Mechanika kwantowa]]
 
[[Kategoria:Fizyka matematyczna]]
[[Kategoria:Mechanika]]
 
[[ar:معادلة هاميلتون]]
[[ar:هاملتوني (ميكانيكا الكم)]]
[[cs:Hamiltonova funkce]]
[[ca:Hamiltonià]]
[[hude:Hamilton-operátorFunktion]]▼
[[cs:Hamiltonův operátor]]
[[de:Hamiltonoperator]]
[[el:Χαμιλτονιανή]]
[[en:Hamiltonian (quantum mechanics)]]
[[es:Hamiltoniano (mecánica cuántica)]]
[[fa:هامیلتونی (مکانیک کوانتومی)]]
[[fr:Opérateur hamiltonien]]
[[ko:해밀토니언 (양자역학)]]
[[it:Operatore hamiltoniano]]
▲[[hu:Hamilton-operátor]]
[[ja:ハミルトニアン]]
[[pt:Hamiltoniano (mecânica quântica)]]
[[ro:Hamiltonian (mecanică cuantică)]]
[[ru:Гамильтониан]]
[[sk:Hamiltonov operátor (Hamiltonovej funkcie)]]
[[fi:Hamiltonin operaattori]]
[[sv:Hamiltonoperator]]
[[uk:Гамільтоніан]]
[[zh:哈密顿算符 (量子力学)]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian”