Ciąg zbiorów: Różnice pomiędzy wersjami

; Twierdzenia Carathéodory'ego i Hahna-Kołmogorowa

{{zobacz też|twierdzenie o rozszerzeniu miary|o1=twierdzenie Carathéodory'ego|twierdzenie Hahna-Kołmogorowa}}

: to <math>\scriptstyle P</math> przedłuża się w jednoznaczny sposób do [[przestrzeń probabilistyczna|prawdopodobieństwa]] <math>\scriptstyle \mathbb P</math> na [[przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] generowanym przez <math>\scriptstyle \mathfrak M.</math>

: Równoważnie można żądać, by <math>\scriptstyle A_n</math> był ciągiem zstępującym na <math>\scriptstyle \mathfrak M</math> oraz <math>\scriptstyle \lim A_n = \varnothing \in \mathfrak M,</math> kiedy to <math>\scriptstyle \lim P(A_n) = P(\lim A_n) = P(\varnothing) = 0</math><ref>Jeśli <math>\scriptstyle A_n</math> jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to <math>\scriptstyle A_n^\mathrm c</math> jest rodziną wstępującą i ze [[prawa de Morgana|wzorów de Morgana]] wynika, że <math>\scriptstyle \lim A_n^\mathrm c = X,</math> skąd <math>\scriptstyle 1 = P(X) = P(\lim A_n^\mathrm c) = \lim P(A_n^\mathrm c) = 1 - \lim P(A_n),</math> czyli <math>\scriptstyle \lim P(A_n) = 0.</math> Na odwrót, jeżeli <math>\scriptstyle A_n</math> jest ciągiem wstępującym, to <math>\scriptstyle B_n = A \smallsetminus A_n</math> tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem <math>\scriptstyle 0 = P(\varnothing) = P(\lim B_n) = \lim P(B_n) = \lim P(A \smallsetminus A_n) = P(A) - \lim P(A_n),</math> czyli <math>\scriptstyle \lim P(A_n) = P(A).</math></ref> z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi <math>\scriptstyle P.</math>