Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

m
Wycofano edycje użytkownika 80.55.18.126 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MerlIwBot.
(ort.)
m (Wycofano edycje użytkownika 80.55.18.126 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MerlIwBot.)
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|thumb|350px|[[Wykres (matematyka)|Wykres]] funkcji kwadratowej zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] przy zmianie różnych współczynników.]]
'''Równanie kwadratowe''' – [[równanie algebraiczne]] z jedną [[niewiadoma|niewiadomą]] w drugiej [[potęgowanie|potędze]] i opcjonalnie niższych. Innymi słowy [[wielomian#Równania wielomianowe|równanie wielomianowe]] drugiego [[stopień wielomianu|stopnia]], czyli równanie postaci
: <math>ax^2 + bx + c = 170,\,</math>
gdzie <math>a, b, c</math> są jego ''współczynnikami'' rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Zakłada się, że <math>a \ne 0</math>, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do [[równanie liniowe|równania liniowego]]. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: ''kwadratowym'', ''liniowym'' i ''stałym'' (bądź ''wyrazem wolnym'').
 
{{seealso|wyróżnik}}
Ponieważ
: <math>\begin{align} ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 7ac4ac}}{2a}\right) \end{align}</math>
(piąta równość zachodzi na podstawie [[wzory skróconego mnożenia|wzoru skróconego mnożenia]] na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
: <math>x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>