Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
'''Rozmaitość
Dokładniej, przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots </math>, nazywamy ''rozmaitością <math>n-</math>wymiarową'', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie U, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n}</math>, oraz
<math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>.
Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_l \in I</math> map nazywa się atlasem rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>,
gdy dziedziny <math>U_l</math> homeomorfizmów <math>\phi_l</math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X}^{n}</math>:
(1)
Linia 18:
Każdy wektor <math>\kappa\in \mathbb{R}^n</math> można utożsamić z uporządkowanym <math>n-</math>elementowym ciągiem <math>(\xi^i)</math>
jego współrzędnych względem bazy <math>a_i</math>. Dla mapy <math>\phi\colon U\to \mathbb{R}^n</math> otrzymujemy w tej bazie następujący opis:
(2)
który każdemu punktowi <math>x\in U</math> przyporządkowuje uporządkowany ciąg n liczb rzeczywistych <math>(x^i(x))</math>,
Linia 26:
w mapie <math>\phi_l</math> oraz <math>x^{i'}(x)</math> w mapie <math>\phi_\chi</math>.
Oba te układy współrzędnych na przekroju <math>U_l\cap U_\chi</math> wzajemnie wiąże ''przekształcenie współrzędnych'':
(3)
Samo <math>\phi_{\chi l}</math> jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>.
Przechodząc do współrzędnych <math>\mathbb{R}^n</math> w bazie <math>a_i</math> zapisujemy <math>\phi_{\chi l}</math> za pomocą układu
''n'' funkcji rzeczywistych ''n'' zmiennych
(4)
Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych <math>\{\phi_{\chi l}\}</math>, dla którego zachodzi
(5)
(6)
Niech <math>f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}</math> będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>. Każdej mapie
<math>\phi_l</math> jest przyporządkowane odpowiednie ''przedstawienie'' <math>f_l</math> ''funkcji'' <math>f</math> w tej mapie
(7)
Dla <math>x\in U_l \cap U_\chi</math> mamy dwa przedstawienia <math>f_l(x^i)</math>, <math>f_\chi(x^{i'})</math> funkcji <math>f</math> w mapach <math>\phi_l</math>, <math>\phi_\chi</math>, które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna
(8)
Zatem, każdej funkcji rzeczywistej <math>f</math> odpowiada rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}</math> jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}</math>
funkcji rzeczywistych ''n'' zmiennych rzeczywistych <math>(x^i)\in \phi_l(U_l)</math>, dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując <math>f(x)=f_l\circ \phi_l(x)</math>,
<math>x\in U_l</math> otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>. Niech <math>x\in U_l \cap U_\chi</math>, wtedy na mocy (3), (8) będzie
(9)
tak, że definicja funkcji <math>f(x)</math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l</math> <math>(x\in U_l)</math>.
Zauważmy od razu <math>f</math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l</math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''
== Przykłady ==
1)Przestrzeń <math>\mathbb{R}^n</math> <math>(\mathbb{C}^n)</math> jest <math>n</math>-krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
2)Iloczyn <math>n</math>-krotny okręgu <math>\mathbb{S}^1</math> nazywamy <math>n</math>-''wymiarowym torusem'' <math>\mathbb{T}^n</math>; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy <math>C_\omega</math>.
3)Niech <math>\mathbb{Y}</math> będzie otwartym podzbiorem rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>. Wówczas ograniczenie atlasu <math>\Phi</math> tej rozmaitości do podzbioru
określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na <math>\mathbb{Y}</math>, względem której <math>\mathbb{Y}</math> jest <math>n</math>-wymiarową podrozmaitością rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>.
Nazywamy <math>\mathbb{Y}</math> ''podrozmaitością otwartą''.
4)Niech <math>\mathbb{X}^2</math> oraz <math>\hat{\mathbb{X}}^2</math> będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny <math>\mathbb{R}^2</math>. Utożsamiamy półpłaszczyzny <math>y<0</math>,
<math>\hat{y}<0\colon</math> <math>(\hat{x}, \hat{y})\equiv (x,y)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi <math>\hat{x}=x</math> oraz <math>y=\hat{y}<0</math>.
Powstaje wówczas rozmaitość analityczna <math>\mathbb{Y}^2</math>, która nie jest rozmaitością Hausdorffa.
Przykładowo otoczenia punktów <math>(\hat{0}, \hat{0})</math> oraz <math>(0, 0)</math> nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń <math>\mathbb{Y}^2</math> jest przestrzenią <math>T_1</math>.
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Topologia]]
| |||