Transformacja Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

 

==Interpretacja oraz związek z transformatą Fouriera i transformatą Z==

Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace'a przedstawia się na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyznie zespolonej]] (tzw. [[Płaszczyzna S|płaszczyźnie 's']]). Płaszczyzna 's' jest to matematyczna dziedzina, w której zamiast spoglądać na procesy w [[dziedzina czasu|dziedzinie czasu]] gdzie modeluje się je za pomocą funkcji czasu, widzi się je jako równania w [[dziedzina częstotliwości|dziedzinie częstotliwości]].

 

 

== Transformata odwrotna Laplace'a ==

Transformatą odwrotną funkcji <math>\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C}</math> nazywamy taką funkcję <math>\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R}</math>, której transformatą jest <math>F(s)</math>:

: <math>\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = f(t)</math> jeżeli <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math>

 

==Zastosowanie==

Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie [[układ liniowy|liniowych]] [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]]. W inżynierii i [[fizyka|fizyce]] jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest [[Płaszczyzna S|płaszczyzna S]]. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[różniczka|różniczkowania]] (zob. [[człon różniczkujący]]), dzielenie przez <math>s\,</math> daje efekt [[całka|całkowania]] (zob. [[człon całkujący]]). Analiza pierwiastków [[liczba zespolona|zespolonych]] równania na płaszczyźnie 's' i przedstawienie ich na [[płaszczyzna zespolona|wykresie Arganda]], może ujawnić informacje na temat [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystyk częstotliwościowych]] i na temat [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilności układu]] (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).