Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami

Dokładniej, przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots </math>, nazywamy ''rozmaitością <math>n-\ </math>wymiarową'', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie <math>U\ </math>, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n}</math>, oraz [[homeomorfizm]] <math>\phi\colon U\to \phi(U)</math> tego otoczenia U na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej

gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X}^{n}</math>:

Zbiór wszystkich map rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math> nazywamy ''atlasem zupełnym '' <math>\Phi_0\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}\ </math>.

<math>\phi_l \neq \phi_{\chi}</math>; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu <math>\Phi_0\ </math>,

Dopuszczenie przypadku <math>n=0\ </math> jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech <math>a_i\ </math>, <math>i=0,1,\ldots,n,</math> będzie bazą <math>\mathbb{R}^{n}</math>, którą używamy jako ustaloną raz na zawsze.

Każdy wektor <math>\kappa\in \mathbb{R}^n</math> można utożsamić z uporządkowanym <math>n-</math>elementowym ciągiem <math>(\xi^i)\ </math>

jego współrzędnych względem bazy <math>a_i\ </math>. Dla mapy <math>\phi\colon U\to \mathbb{R}^n</math> otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

który każdemu punktowi <math>x\in U\ </math> przyporządkowuje uporządkowany ciąg <math>n\ </math> liczb rzeczywistych <math>(x^i(x))\ </math>,

czyli tzw. ''współrzędnych punktu <math>x\ </math> względem mapy'' <math>\phi\ </math>.

Rozważmy dwie mapy <math>\phi_l\ </math>, <math>\phi_\chi\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>, dla których przekrój

<math>U_l\cap U_\chi\neq\emptyset</math>. Wtedy punktowi <math>x\in U_l\cap U_\chi</math> odpowiadają współrzędne <math>x^i(x)\ </math>

w mapie <math>\phi_l\ </math> oraz <math>x^{i'}(x)\ </math> w mapie <math>\phi_\chi\ </math>.

Oba te układy współrzędnych na przekroju <math>U_l\cap U_\chi\ </math> wzajemnie wiąże ''przekształcenie współrzędnych'':

Samo <math>\phi_{\chi l}\ </math> jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>.

Przechodząc do współrzędnych <math>\mathbb{R}^n</math> w bazie <math>a_i\ </math> zapisujemy <math>\phi_{\chi l}\ </math> za pomocą układu

(4) <math>x^{i'}=x^{i'}(x^i).\ </math>

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych <math>\{\phi_{\chi l}\}\ </math>, dla którego zachodzi

Niech <math>f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\ </math> będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ </math>. Każdej mapie

<math>\phi_l\ </math> jest przyporządkowane odpowiednie ''przedstawienie'' <math>f_l\ </math> ''funkcji'' <math>f\ </math> w tej mapie

Dla <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math> mamy dwa przedstawienia <math>f_l(x^i)\ </math>, <math>f_\chi(x^{i'})\ </math> funkcji <math>f\ </math> w mapach <math>\phi_l\ </math>, <math>\phi_\chi\ </math>, które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej <math>f</math> odpowiada rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math>

funkcji rzeczywistych ''<math>n''\ </math> zmiennych rzeczywistych <math>(x^i)\in \phi_l(U_l)\ </math>, dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując <math>f(x)=f_l\circ \phi_l(x)\ </math>,

<math>x\in U_l\ </math> otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ </math>. Niech <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math>, wtedy na mocy (3), (8) będzie

tak, że definicja funkcji <math>f(x)\ </math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l\ </math> <math>(x\in U_l)\ </math>.

Zauważmy od razu <math>f\ </math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n\ </math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l\ </math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''

1)Przestrzeń <math>\mathbb{R}^n\ </math> <math>(\mathbb{C}^n)\ </math> jest <math>n\ </math>-krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).

2)Iloczyn <math>n\ </math>-krotny okręgu <math>\mathbb{S}^1</math> nazywamy <math>n\ </math>-''wymiarowym torusem'' <math>\mathbb{T}^n\ </math>; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy <math>C_\omega\ </math>.

3)Niech <math>\mathbb{Y}</math> będzie otwartym podzbiorem rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>. Wówczas ograniczenie atlasu <math>\Phi\ </math> tej rozmaitości do podzbioru

określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na <math>\mathbb{Y}</math>, względem której <math>\mathbb{Y}</math> jest <math>n\ </math>-wymiarową podrozmaitością rozmaitości <math>\mathbb{X}^n</math>.

4)Niech <math>\mathbb{X}^2</math> oraz <math>\hat{\mathbb{X}}^2</math> będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny <math>\mathbb{R}^2</math>. Utożsamiamy półpłaszczyzny <math>y<0\ </math>,

Przykładowo otoczenia punktów <math>(\hat{0}, \hat{0})</math> oraz <math>(0, 0)</math> nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń <math>\mathbb{Y}^2</math> jest przestrzenią <math>T_1\ </math>.