Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
WebmajstrBot (dyskusja | edycje)
WebmajstrBot poprawia przekierowania
Piotr mil (dyskusja | edycje)
dodano bibliografię, komentarze do dowodu i przykładu
Linia 1:
[[Plik:Lebesgue 2.jpeg|thumb|right|[[Henri Lebesgue]]]]
'''Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej''' ('''zmajoryzowanej''') – [[twierdzenie]] w [[analiza matematyczna|analizie]] i [[teoria miary|teorii miary]] stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego [[ciąg (matematyka)|ciągu]] funkcji [[funkcja mierzalna|mierzalnych]] jest [[funkcja całkowalna|całkowalna]] i jej [[całka]] jest granicą całek z wyjściowych [[Funkcja|funkcji]].
 
Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania [[Francja|francuskiego]] matematyka [[Henri Lebesgue|Henri Lebesgue'a]].
Linia 17:
 
== Szkic dowodu ==
Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że ''f'' jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.<ref name=rudinzespolony>{{Cytuj książkę|imię=Walter|nazwisko=Rudin|tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]]|strony=23,35}}</ref> oraz <math>|f(x)|\leqslant g(x)</math> (dla wszystkich <math>x\in X</math>), a stąd ''f'' jest całkowalna. Zauważmy, że <math>|f_n(x)-f(x)|\leqslant 2g(x)</math> (dla każdego ''x''), więc możemy zastosować [[lemat Fatou]] do funkcji <math>h_n=2g-|f_n-f|\ </math>.

Ponieważ <math>2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x)</math>, to otrzymujemy wówczas, że
:<math>
: <math>\int 2g\ d\mu\leqslant\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=</math>
\begin{align}
: <math>\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)</math>
: <math>\int 2g\ d\mu&\leqslant\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=</math>
&=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=\\
: <math>&=\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)</math>
&=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)
\end{align}
</math>
 
Stąd już wnioskujemy że <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)=0</math> a zatem <math>\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0</math>. Ponieważ <math>\left|\int f_n-f\ d\mu\right|\leqslant\int |f_n-f|\ d\mu</math>, to możemy też wywnioskować, że <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.
 
== Przykład ==
;Istotność założenia (c)
Rozważmy [[przedział (matematyka)|odcinek]] <math>(0,1)</math> wyposażony w [[miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]] λ. Dla [[liczby naturalne]]j <math>n\in {\mathbb N}</math> zdefinujmy funkcję <math>f_n:(0,1)\longrightarrow {\mathbb R}</math> przez
: <math> f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right. </math>
Linia 29 ⟶ 38:
 
A więc '''nie można''' pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.
 
{{Przypisy}}
 
==Bibliografia==
* {{Cytuj książkę|imię=Walter|nazwisko=Rudin|tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]]|rok=1998|isbn=978-83-01-15801-9}}
* {{Cytuj książkę|imię=Ryszard|nazwisko=Rudnicki|tytuł=Wykłady z analizy matematycznej|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]]|rok=2006}}
 
== Zobacz też ==