Dyfeomorfizm: Różnice pomiędzy wersjami

'''Dyfeomorfizm''' – rodzaj [[Funkcja|odwzorowania]] [[różniczka|różniczkowalnego]] w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]] będącego, [[izomorfizm]]em [[rozmaitość różniczkowalna|rozmaitości różniczkowalnych]], tj. gładkiegoodwzorowanie ibijektywne takiegopomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, żektóre odwrotnejest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego teżodwrotne jest również gładkie.

Niech <math>''X,'' i ''Y</math>'' będą [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]] oraz <math>niech ''D</math>'' będzie [[zbiór pusty|niepustym]] [[podzbiór|podzbiorem]] <math>otwartym ''X</math>''. Przekształcenie <math>''F\colon'': ''D'' \to→ ''Y</math>'' nazywane nazywamyjest '''dyfeomorfizmem''', jeśligdy

# <math>D</math> oraz jego [[obraz (matematyka)|obraz]] <math>''F''(''D'')</math> są [[zbiór otwarty|zbiorami otwartymi]] (czyli <math>F</math> jest [[odwzorowanieotwartym otwarte|odwzorowaniempodzbiorem otwartym]])''Y'',

# <math>''F</math>'' jest [[funkcja odwrotnaróżnowartościowa|funkcją odwracalnąróżnowartościową]],

# <math>''F</math>'' i ''F''<mathsup>F^{ -1}</mathsup> (jako funkcja określona na ''F''(''D'') są klasy ''C''<mathsup>C^1</mathsup>.

Z powyższej definicji wynika, że jeśli <math>''F</math>'' jest dyfeomorfizmem, to <math>''F</math>'' i ''F''<mathsup>F^{ -1}</mathsup> są [[odwzorowanie regularne|odwzorowaniami regularnymi]]. Inaczej, każde [[bijekcja|odwracalne]] odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest [[homeomorfizm]]em.

W szczególnym przypadku, gdy <math>''X'' =\mathbb{ '''R}^n'''^''m'', ''Y'' =\mathbb{ '''R}^'''<sup>''k''</mathsup>, dyfeomorfizmdyfeomorfizmy to po prostu homeomorfizmzanurzenia homeomorficzne klasy ''C''<mathsup>C^1</mathsup> o [[różniczka|różniczce]] maksymalnego [[rząd (algebra liniowa)|rzędu]], któregoktórych funkcja odwrotna jest klasy ''C''<mathsup>C^1</mathsup> w <math>F(D)</math>obrazie.

Niech <math>''D</math>'' będzie otwartym podzbiorem '''R'''<mathsup>\mathbb{R}^''m''</mathsup>. MówimyMówim się, że dyfeomorfizm
:<math>\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m</math>
jest '''przywiedlny''', jeśligdy istnieją takie <math>''i'', ''j\leqslant'' ≤ ''m</math>'', że
:<math>\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j</math> dla <math>(x_1,\ldots, x_m)\in D</math>.

Niech <math>''G</math>'' będzie otwartym podzbiorem <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\Gamma\colon [a,b]\to G</math> będzie [[droga (matematyka)|drogą kawałkami gładką]] oraz <math>\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)</math> będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej [[forma różniczkowa|formy]] <math>\Omega\in F^1_0(G; Y)</math>

[[złożenie funkcji|Złożenie]] dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. [[Automorfizm]] [[Rozmaitość różniczkowa|rozmaitości różniczkowej]] <math>''M</math>'' jest dyfeomorfizmem <math>''M</math>'' na siebie. W ten sposób można rozważać [[grupa (matematyka)|grupę]] automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamyoznacza przezsię symbolem <math>\operatorname{Diff} ''M</math>''.

Niech <math>''X,'' i ''Y</math>'' będą [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]], <math>''D</math>'' będzie niepustym, otwartym podzbiorem <math>''X</math>'' oraz będzie dane odwzorowanie <math>''F\colon'': ''D'' \rightarrow→ ''Y</math>'' klasy ''C''<mathsup>C^1</mathsup>. Jeśli <math>''F</math>'' jest różniczkowalne w punkcie ''x''<mathsub>x_0\in D0</mathsub> ∈ ''D'' oraz pochodna ta jest izomorfizmem <math>(liniowym) ''X</math>'' na <math>''Y</math>'', to istnieje takie [[otoczenie punktu|otoczenie]] <math>''U\subset'' ⊆ ''D</math>'' punktu ''x''<mathsub>x_00</mathsub>, takie że odzworowanie ''F''|<mathsub>F|_U''U''</mathsub> jest dyfeomorfizmem.