Rozwinięcie Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

'''Rozwinięcie [[Pierre Simon de Laplace|Laplace'aLaplace’a]]''' -– wzór [[rekurencja|rekurencyjny]] określający [[wyznacznik]] <math>n</math>-tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach <math>n \times n</math>. Wyznacznik <math>\det A</math> macierzy <math>A_{n\times n}</math> znajduje się z następującego wzoru:

: <math>\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}</math>

: <math>i</math> jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie

: <math>a_{ij}\;</math> -– element macierzy w <math>i</math>-tym wierszu i <math>j</math>-tej kolumnie

: <math>A_{ij}\;</math> -– [[dopełnienie algebraiczne]] elementu <math>a_{ij}\;</math> powstałe z przemnożenia czynnika <math>(-1)^{i+j}</math> przez [[minor]] elementu <math>a_{ij}</math>

Twierdzenie Laplace'aLaplace’a pozwala obliczyć wyznacznik macierzy unikając korzystania z bardzo czasochłonnej metody opartej na definicji wyznacznika.

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace'aLaplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

: <math>\ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}</math>

: <math>\det A = \begin{vmatrix} 0+\color{Brown} 7 & 1-\color{Brown} 7 & 2+\color{Brown} \color{Brown} 7 & \color{Brown} 7 \\ 1+\color{Brown} 4 & 2-\color{Brown} 4 & 3+\color{Brown} 4 & \color{Brown} 4 \\ 5+\color{Brown} 8 & 6-\color{Brown} 8 & 7+\color{Brown} 8 & \color{Brown} 8 \\ -1+\color{Brown} 1 & 1-\color{Brown} 1 & -1+\color{Brown} 1 & \color{Brown} 1 \end{vmatrix}\ = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 & 7 \\ 5 & -2 & 7 & 4 \\ 13 & -2 & 15 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{blue} 1} \end{vmatrix}</math>

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace'aLaplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych [[minor]]ów) dostaniemy:

: <math>\det A =

(-1)^{4+1} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 9 & 7 \\ -2 & 7 & 4 \\ -2 & 15 & 8 \end{vmatrix} +

(-1)^{4+2} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \\ 13 & 15 & 8 \end{vmatrix} +

(-1)^{4+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 7 \\ 5 & -2 & 4 \\ 13 & -2 & 8 \end{vmatrix} +

(-1)^{4+4} \cdot {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} =

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo —– odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

: <math>\det A = {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 13 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & {\color{red} -4} & 2 \\ 5 & 0 & 2 \\ 13 & 0 & 2 \end{vmatrix}</math>.

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace'aLaplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

* [[macierz]],

* [[wyznacznik]],

* [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]].