|
'''Zmienna losowa''' – [[funkcja]] przypisująca [[zdarzenie elementarne|zdarzeniom elementarnym]] [[liczba|liczby]]. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwa]] z niewygodnej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] do dobrze znanej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. Zmienne losowe to '''[[funkcja mierzalna|funkcje mierzalne]]''' względem przestrzeni probabilistycznych.
'''Zmienna losowa''' to zmienna, której wartość zależy od czynnika losowego. Zmienna losowa, podobnie jak zmienna, może przyjmować różne wartości, oraz dodatkowo z każdą wartością jest związane prawdopodobieństwo z jakim zmienna przyjmuje tą wartość.
ZjawiskaZmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można opisywać przy użyciu zmiennej losowej. Można im przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6). ▼== Definicja intuicyjna == ▼
"Zwykła" [[Zmienna_(matematyka)|zmienna]] w matematyce to symbol, który może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu i nazywany zakresem zmiennej. Zmienna losowa, podobnie jak zmienna, może przyjmować różne wartości, oraz '''dodatkowo każdą z tych wartości przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem'''.
Wartościami zmiennej losowej mogą być na przykład rezultaty jeszcze nie przeprowadzonego eksperymentu lub rezultaty zdarzenia przeszłego, których wartość nie jest jednak do końca pewna. Wartości zmiennej losowej mogą reprezentować rezultaty "rzeczywiście" losowych procesów (np. rzutu kostką) lub procesów subiektywnie losowych (gdzie losowość wynika z naszej niekompletnej wiedzy o procesie).
Jeśli zmienna <math>X</math> może przyjmować wartości ze zbioru <math>X_1, X_2, ..., X_k</math> z prawdopodobieństwami odpowiednio <math>p_1, p_2, ..., p_k</math> możemy powiedzieć że mamy zdefiniowany dyskretny rozkład prawdopodobieństwa dla <math>X</math>. Funkcja <math>p(X)</math>, która ma odpowiednio wartości <math>p(X_1)=p_1, p(X_2)=p_2,..., p(X_k)=p_k,</math> nazywana jest [[Funkcja masy prawdopodobieństwa|funkcją masy prawdopodobieństwa]]. Ponieważ zmienna <math>X</math> może przyjmować określone wartości z danymi prawdopodobieństwami jest nazywana '''zmienną losową''' (w tym przypadku dyskretną).
== Definicja formalna ==
Formalnie zmienna losowa jest zdefiniowana jako [[funkcja]] przypisująca [[zdarzenie elementarne|zdarzeniom elementarnym]] - [[liczba|liczby]].
▲== Definicja intuicyjna ==
'''Zmienną losową''' (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej <math>(\Omega, \mathcal F, P)</math> nazywamy dowolną rzeczywistą [[funkcja mierzalna|funkcję mierzalną]] <math>\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}</math>, tzn. funkcję <math>\xi</math> spełniającą warunek
: <math>\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}</math> dla każdego [[zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] <math>B\subseteq \mathbb{R}</math>.
Na przykład w eksperymencie polegającym na losowaniu jednej osoby z grupy ludzi zmienną losową może być wiek tej osoby. W takim przypadku zdarzeniami elementarnymi są: {wylosowanie osoby A}, {wylosowanie osoby B}, itd. Każdej osobie towarzyszy jakiś wiek. Zmienna losowa w chwili swojej definicji przypisuje zdarzeniu polegającym na wylosowaniu konkretnej osoby wiek tej osoby. W rezultacie utrzymujemy więc zmienną, które przyjmować różne wartości (bo osoby w zbiorze mogą być w różnym wieku). Ponadto, każdą z tych wartości przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem (zależnym od prawdopodobieństwa zdarzenia elementarnego), więc jest zmienną losową rozumianą intuicyjnie.
▲Zjawiska o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można opisywać przy użyciu zmiennej losowej. Można im przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).
Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. <math>X, Y, Z</math> lub liter greckich <math>\xi, \eta, </math> odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.
| 