Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

[[Trywialność (matematyka)|Trywialnym]] przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]]. Inwolucją jest funkcja <math>\scriptstyle A^2 \to A^2,</math> czyli [[iloczyn kartezjański|kwadratu kartezjańskiego]] zbioru <math>\scriptstyle A</math> w siebie dane wzorem <math>\scriptstyle (x, y) \mapsto (y, x);</math> zbiorem jej [[punkt stały|punktów stałych]] jest przekątna <math>\scriptstyle \Delta A := \displaystyle\{\scriptstyle (x, x)\colon x \in A \displaystyle\}\scriptstyle.</math> Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. [[macierz transponowana|transpozycja macierzy]] (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez [[transpozycja (matematyka)|transpozycję]] ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).
 
Zmiana znaku <math>\scriptstyle x \mapsto -x</math> jest inwolucją w dowolnej [[grupa (matematyka)|grupie]] (w notacji [[grupa addytywna|addytywnej]]), a więc [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] (np. [[liczby całkowite|liczb całkowitych]]) czy [[ciało (matematyka)|ciele]] (np. [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], [[liczby zespolone|zespolonych]]); odwrotność <math>\scriptstyle x \mapsto 1/x</math> jest inwolucją w grupie [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] ([[grupa multiplikatywna|grupie multiplikatywnej ciała]], np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest [[sprzężenie zespolone|sprzężenie]]. W rachunku macierzy inwolucjami są [[macierz transponowana|transpozycja]], [[macierz sprzężona (trywialnie)|sprzężenie]], [[sprzężenie hermitowskie]] (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz [[macierz odwrotna|odwracanie]] macierzy.
 
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]], a w szczególności [[teoria grup|teorii grup]] zasadniczo inwolucją nazywa się element [[rząd (teoria grup)|rzędu]] dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli [[element neutralny]]; wynika to stąd, iż tworzą one [[podgrupa|podgrupę]] [[grupa symetryczna|grupy symetrycznej]] złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób [[permutacja]] jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. [[Grupa Coxetera|Grupy Coxetera]] to grupy [[zbiór generatorów grupy|generowane]] przez inwolucje<ref>Bourbaki. ''Groupes et Algèbres de Lie'', Hermann, Paris, Rozdział 4.1.</ref>.
W [[geometria|geometrii]] euklidesowej inwolucjami są [[symetria|symetrie]] (m.in. [[symetria zwierciadlana|zwierciadlana]], [[symetria osiowa|osiowa]], [[symetria środkowa|środkowa]]) oraz [[inwersja (geometria)|inwersja]]. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład <ref>S. López de Medrano, ''Involutions on Manifolds'', Springer-Verlag, 1971.</ref>.
 
W [[teoria mnogości|teorii zbiorów]] inwolucjami są [[różnica symetryczna]] z ustalonym zbiorem, czy [[dopełnienie zbioru]] (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej [[algebra Boole'a|algebrze Boole'a]]. W informatyce inwolucją jest szyfr [[Rot13]].
 
== Zobacz też ==
Anonimowy użytkownik