Prawdopodobieństwo: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Kołmogorow nie podał innej definicji prawdopodobieństwa niż aksjomatyczna. |
→Definicja Kołmogorowa: drobne redakcyjne |
||
Linia 44:
Jedynym właściwie niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie jest jasne jaką postać przyjmować mogą zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długości<ref group="uwaga">Przykładowo problematyczny jest zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] należących do [[przedział jednostkowy|odcinka jednostkowego]]. Zgodnie z definicją [[miara Jordana|miary Jordana]] na prostej mierzenie tego zbioru odbywa się poprzez wypełnienie go „od dołu” i pokrycie „od góry” skończoną liczbą odcinków o ustalonej długości. Z jednej strony „pokrycie od góry” tego nieskończonego zbioru zawsze prowadzi do pokrycia nimi całego odcinka jednostkowego, gdyż punkty wymierne są na nim [[zbiór gęsty|gęsto]] rozmieszczone, a więc zbiór ten ma jednostkową miarę zewnętrzną; z drugiej strony punkty niewymierne również są na nim gęsto rozmieszczone, co oznacza, że [[dopełnienie zbioru|dopełnienie]] mierzonego zbioru również pokrywa w całości odcinek jednostkowy – „wypełnienie od dołu” będące różnicą miary całego odcinka i miary dopełnienia ma więc miarę zerową. Miara zbioru liczb wymiernych na odcinku jednostkowy w sensie Jordana jest więc nieokreślona, choć intuicyjnie zbiór ten powinien mieć miarę zerową, gdyż jest tylko przeliczalny w przeciwieństwie do jego dopełnienia.</ref>. Kluczem było wyraźne wskazanie zdarzeń i zastosowanie formalizacji [[miara (matematyka)|mierzenia zbiorów]] w postaci [[miara Lebesgue'a|miary Lebesgue'a]] i [[całka Lebesgue'a|całki Lebesgue'a]]<ref group="uwaga">Podana niżej definicja przenosi się niemal bez zmian na [[algebra Boole'a|algebry Boole'a]].</ref>.
Niech dany będzie pewien zbiór <math>\scriptstyle \Omega</math> zdarzeń elementarnych. '''Prawdopodobieństwem''' nazywa się dowolną funkcję <math>\scriptstyle \mathbb P</math> przypisującą zdarzeniom wartości z [[przedział jednostkowy|przedziału jednostkowego]], dla której <math>\scriptstyle \mathbb P(\Omega) = 1</math> oraz <math>\scriptstyle \mathbb P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2) + \dots</math> dla dowolnego przeliczalnego ciągu <math>\scriptstyle (A_n)</math> [[zdarzenia losowe rozłączne|zdarzeń parami wykluczających się]]<ref group="uwaga">Zob. [[ciąg zbiorów]].</ref>. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru <math>\scriptstyle \Omega,</math> czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru <math>\scriptstyle \Omega,</math> lecz elementami rodziny <math>\scriptstyle \mathcal F \subseteq \Omega,</math> która tworzy (w domyśle: największą) [[zbiór pusty|niepustą]] [[rodzina zbiorów|rodzinę]] zdarzeń w <math>\scriptstyle \Omega,</math> która jest zamknięta na branie [[zdarzenie losowe przeciwne|zdarzeń przeciwnych]] i [[zbiór przeliczalny|przeliczalnych]] [[suma zdarzeń|alternatyw zdarzeń]] (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jego [[negacja|negacją]], a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ich [[alternatywa|alternatywą]])<ref group="uwaga">W szczególności rodzina <math>\scriptstyle \mathcal F</math> może pokrywać się z <math>\scriptstyle \Omega,</math> co ma np. miejsce w przypadku [[zbiór przeliczalny|przeliczalnym]] i [[zbiór skończony|skończonym]]; uogólnia ona więc wszystkie poprzednie definicje.</ref><ref group="uwaga">Rodzinę <math>\scriptstyle \mathcal F</math> o podanych własnościach nazywa się [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] podzbiorów zbioru <math>\scriptstyle \Omega.</math></ref>. Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadków<ref group="uwaga">W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] istnieją zbiory, np. [[zbiór Vitalego]], dla których określenie ich [[miara Lebesgue'a|miary Lebesgue'a]] jest niemożliwe; rozpatrywanie σ-ciała <math>\scriptstyle \mathcal F</math> wyklucza tego rodzaju zbiory z dyskursu dając przy tym wystarczająco bogaty zestaw zbiorów mierzalnych użyteczny do wszelkich zastosowań; ponieważ konstrukcja zbiorów niemierzalnych wymaga użycia szczególnych środków ([[aksjomat wyboru]]), bywa, iż w popularnym ujęciu pomija się te dywagacje ''de facto'' rozmywając precyzję definicji Kołmogorowa do nieformalnej definicji Buffona.</ref>.
== Przykłady ==
| |||