Zbiór skończony: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 2340 bajtów ,  8 lat temu
drobne merytoryczne
(poprawa linków)
(drobne merytoryczne)
{{spis treści}}
'''Zbiór skończony''' − w [[matematyka|matematyce]] [[zbiór]] o skończonej liczbie elementów lub dokładniej: zbiór skończonej [[moc zbioru|mocy]], tzn. mocy mniejszej od [[skala alefów|pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej]] <math>\scriptstyle \aleph_0</math> (w tym [[zbiór pusty]]). ''Zbiorem nieskończonym'' nazywa się zbiór, który nie jest skończony. Odpowiedzią na pytanie o liczbę zbiorów skończonych zajmuje się dział matematyki nazywany [[kombinatoryka|kombinatoryką]], pośrednio zajmują się nim również [[teoria liczb]] oraz [[Kryptologia|kryptografia]], w ogólności zbiory jako takie bada się w [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Bliskim pojęciem zbioru skończonego jest [[ciąg (matematyka)|ciąg skończony]], w którym istotna jest kolejność elementów.
 
W życiuświecie rzeczywistym można spotkać się wyłącznie zbioryze zbiorami skończoneskończonymi, choć mogą byćmieć one bardzo dużedużo elementów − przykładem może być np. liczba możliwych do zaobserwowania [[atom]]ów we [[wszechświat|wszechświecie]], którą szacuje się na ok. <math>\scriptstyle 10^{80}</math> (zob. [[widzialny wszechświat]],; wymiary [[wszechświat]]a mogą być nieskończone). Wynika to z jednej strony wynika to ze skończonej podzielności [[Materia (fizyka)|materii]] (zob. [[kwant]]), a z drugiej ze skończonej [[prędkość światła|prędkości światła]]. Zdawać by się mogło, że zdefiniowanieprecyzyjne zbioruokreślenie skończonegoczym jest zbiór skończony nie powinno nastręczać większych trudności, jednak istnieje kilka nierównoważnych definicji tego pojęcia. Odpowiedzią na pytanie o liczbę zbiorów skończonych zajmuje się dział matematyki nazywany [[kombinatoryka|kombinatoryką]], pośrednio zajmują się nim również [[teoria liczb]] oraz [[Kryptologia|kryptografia]], w ogólności zbiory jako takie bada się w [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Bliskim pojęciem zbioru skończonego jest [[ciąg (matematyka)|ciąg skończony]], w którym istotna jest kolejność elementów.
'''Zbiorem nieskończonym''' nazywa się zbiór, który nie jest skończony.
 
Mimo to we współczesnej matematyce rozpatruje się zbiory nieskończone: można traktować to jako pewnego rodzaju wybieg mający na celu łatwiejsze uchwycenie wyników procesów dziejących się w bardzo krótkim, czy bardzo długim czasie, choć bywa to okupione mniejszą intuicyjnością rozumowań (zob. [[paradoks Hilberta]]). Historycznie do XIX wieku, zgodnie z myślą [[Arystoteles]]a operowano wyłącznie zbiory skończone traktując nieskończoność jako proces, który można w razie potrzeby bez przeszkód kontynuować (w [[geometria euklidesowa#Aksjomaty Euklidesa|geometrii euklidesowej]] [[prosta]] traktowana była jako [[odcinek]], który można było nieograniczenie przedłużać); przełom przyniosły prace [[Georg Cantor|Georga Cantora]], który potraktował zbiory nieskończone jako osobne byty o własnej hierarchii (zob. [[nieskończoność|nieskończoności potencjalną i aktualną]]). Choć dziś idee teorii Cantora są szeroko akceptowane przez społeczność matematyków, to trudności w początkowej fazie jej rozwoju spowodowały opór w postaci [[finityzm]]u, [[konstruktywizm (matematyka)|konstruktywizmu]], czy [[intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizmu]] odrzucających pojęcie nieskończoności aktualnej (zob. [[aksjomat nieskończoności|aksjomat Cantora]], nazywany też aksjomatem nieskończoności<ref>Aksjomat ten wzbudza kontrowersje, gdyż jest niezależny od pozostałych [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] [[teoria mnogości|teorii mnogości]] – również [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] – o ile są one [[niesprzeczność|niesprzeczne]] (zob. [[twierdzenie Gödla]]).</ref>).
W życiu można spotkać wyłącznie zbiory skończone, choć mogą być one bardzo duże − przykładem może być np. liczba możliwych do zaobserwowania [[atom]]ów we [[wszechświat|wszechświecie]], którą szacuje się na ok. <math>\scriptstyle 10^{80}</math> (zob. [[widzialny wszechświat]], wymiary [[wszechświat]]a mogą być nieskończone). Wynika to z jednej strony ze skończonej podzielności [[Materia (fizyka)|materii]] (zob. [[kwant]]), a z drugiej ze skończonej [[prędkość światła|prędkości światła]]. Zdawać by się mogło, że zdefiniowanie zbioru skończonego nie powinno nastręczać większych trudności, jednak istnieje kilka nierównoważnych definicji tego pojęcia. Odpowiedzią na pytanie o liczbę zbiorów skończonych zajmuje się dział matematyki nazywany [[kombinatoryka|kombinatoryką]], pośrednio zajmują się nim również [[teoria liczb]] oraz [[Kryptologia|kryptografia]], w ogólności zbiory jako takie bada się w [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Bliskim pojęciem zbioru skończonego jest [[ciąg (matematyka)|ciąg skończony]], w którym istotna jest kolejność elementów.
 
== Definicje ==
{{zobacz też|podzbiór#Zawieranie|o1=zawieranie zbiorów|moc zbioru|o2=równoliczność}}
; Definicja naturalna : ''Zbiór skończony'' to zbiór [[moc zbioru|równoliczny]] z [[zbiór ograniczony|ograniczonym]] [[podzbiór|podzbiorem]] [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], tzn. zbiór, dla którego istnieje [[funkcja wzajemnie jednoznaczna]] tego zbioru ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>\scriptstyle \{1, 2, \dots, n\}</math> dla pewnego <math>\scriptstyle n.</math><ref>WPrzyjmując, szczególnościże dla <math>\scriptstyle n = 0</math> wspomniany zbiór ma postać <math>\scriptstyle \{\} = \varnothing,</math> zatem w myśl definicji naturalnej [[zbiór pusty]] również jest również skończony.</ref>.
; Definicja Tarskiego : Zbiór jest ''skończony'' wtedy i tylko wtedy, gdy każda niepusta [[rodzina zbiorów|rodzina]] jego podzbiorów ma [[Elementy minimalny i maksymalny|element maksymalny]] ze względu na relację [[podzbiór|inkluzji]]<ref>Zbiór pusty jest skończony w sensie definicji Tarskiego, gdyż spełnia on ją „w próżni”: zbiór pusty nie ma niepustej rodziny podzbiorów, zatem każda z nich ma element maksymalny ze względu na zawieranie.</ref>.
; Definicja Dedekinda : Zbiór nazywa się ''skończonym'', gdy nie jest równoliczny z żadnym swoim [[podzbiór|podzbiorem właściwym]], tzn. nie istnieje funkcja zbioru w siebie, która byłaby [[funkcja różnowartościowa|iniekcją]] (różnowartościowa), lecz nie byłaby [[funkcja "na"|suriekcją]] („na”)<ref>Warunek definicji Dedekinda, podobnie jak w definicji Tarskiego, jest również spełniony „w próżni” dla zbioru pustego, gdyż zbiór pusty nie ma podzbiorów właściwych, zatem żaden podzbiór właściwy zbioru pustego nie jest z nim równoliczny.</ref>.
; Definicja Dedekinda (alternatywna 1) : Zbiór jest ''skończony'', gdy nie istnieje [[funkcja różnowartościowa]] zbioru liczb naturalnych w ten zbiór<ref>Por. [[zasada szufladkowa Dirichleta]].</ref>.
; Definicja Dedekinda (alternatywna 2) : Zbiór jest ''skończony'', gdy nie zawiera [[zbiór przeliczalny|zbioru przeliczalnie nieskończonego]].
 
== Zobacz też ==
* [[nieskończoność]], [[aksjomat nieskończoności]]
* [[zbiór przeliczalny]], [[moc zbioru]]
* [[paradoks Hilberta]]
* [[arytmetyka liczb kardynalnych]]
Anonimowy użytkownik