Równania Eulera-Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Januszkaja (dyskusja | edycje) m Usunięto kategorię "Rachunek różniczkowy i całkowy" za pomocą HotCat |
Januszkaja (dyskusja | edycje) drobne redakcyjne |
||
Linia 12:
== Zastosowania ==
Równania Eulera-Lagrange'a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi ([[linia geodezyjna|geodezyjnej]]), biegu promienia światła, czyli linii dla której [[droga optyczna]] jest najkrótsza ([[zasada Fermata]]) albo do minimalizacji energii ([[krzywa łańcuchowa]]).
=== Mechanika klasyczna ===
Linia 18:
: <math>S=\int\limits^{t_2}_{t_1}L dt</math>,
gdzie <math>t</math> to czas, a <math>L</math> to [[Lagranżjan|lagrangian]]. W mechanice klasycznej ma on postać:
: <math>L = E_{kin} - E_{pot}</math>,
gdzie:
: <math>E_{kin}</math> — energia kinetyczna układu,
: <math>E_{pot}</math> — energia potencjalna układu.
Linia 62:
{{osobny artykuł|Brachistochrona}}
Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości <math>mg</math> jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange'a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej <math>y(x)</math>, żeby czas <math>t</math> był minimalny.
: <math>t = \int\limits_A^B \frac{ds}{v} </math>,
gdzie
: <math>v = \sqrt{2gy}</math> — prędkość ciała, której zależność od <math>y</math> wynika z [[Zasada zachowania energii|zasady zachowania energii]],
: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{ (x'(y)) ^2 + 1}dy</math> — [[różniczka]] drogi.
Podstawiając, otrzymujemy:
: <math>t = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}dy = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B fdy </math>,
gdzie
: <math>f = \sqrt{\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}}</math>.
Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej <math>x(y)</math> spełniającej równanie Eulera-Lagrange'a:
Linia 77:
Rozwiązując to równanie otrzymujemy brachistochronę:
: <math>x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta)</math>,
: <math>y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta)</math>,
gdzie <math>k</math> to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.
Linia 84:
{{osobny artykuł|Krzywa łańcuchowa}}
Równanie Eulera-Lagrange'a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową<ref>http://math.arizona.edu/~flaschka/Topmatter/527files/termpapers/smallwood.pdf</ref>, która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym <math>g</math>. Układ mechaniczny jest w [[Równowaga (mechanika)|równowadze]], gdy jego [[energia potencjalna]] jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:
: <math>E_{pot} = \int\limits_A^B \rho g y(x) ds</math>,
gdzie
: <math>\rho</math> – gęstość liniowa linki,
: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dx</math> — [[różniczka]] długości krzywej.
Podstawiając, otrzymujemy:
: <math>E_{pot} = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}dx = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} fdx</math>,
gdzie
: <math>f = y\sqrt{1+ (y'(x)) ^2}</math>.
: <math>\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0 </math>.
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać [[krzywa łańcuchowa|krzywej łańcuchowej]]:
: <math>y(x) = a \, \cosh \left ({x \over a} \right )</math>,
<math>a</math> jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.
Linia 112:
: <math>0 = \frac{dS}{dy}= \int \limits_{t_1}^{t_2} (\varphi\frac{\partial L}{\partial x} + {\varphi}'\frac{\partial L}{\partial x})dt = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi'\frac{\partial L}{\partial x}dt </math>
Całkując drugi człon [[całkowanie przez części|przez części]], otrzymujemy:
<math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \Big[ \varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \Big]_{t_1}^{t_2} - \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'}dt </math>.
: <math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi \left (\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} \right ) dt</math>
{{przypisy}}
| |||