Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami

== Charakterystyka kąta wpisanego w okrąg ==

=== Twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku ===

''Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary [[kąt środkowy|kąta środkowego]] opartego na tym samym łuku''.

 

'''Twierdzenie 1'''

 

[[Plik:Inscribed angle outside 1.svg|thumb|250px|center|Kąt o obu ramionach siecznych do okręgu]]

'''Dowód.''' Niech oba ramiona kąta <math>\gamma</math> przecinają okrąg o środku ''A'' i promieniu ''r''. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach ''C'' i ''D'', a drugie w punktach ''B'' i ''D'' (jak na rysunku). Niech ''F'' będzie wierzchołkiem tego kąta, <math>\alpha_1 = \ang BAD</math> i <math>\beta_1 = \ang CAE</math> są kątami środkowymi opartymi na łukach ''BD'' i ''CE''. Ponadto kąty <math>\alpha = \ang BCD</math> oraz <math>\beta = \ang CBE</math> są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli <math>\alpha = 0,5 \cdot \alpha_1</math> i <math>\beta = 0,5 \cdot \beta_1</math>. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że <math>\beta = \alpha + \gamma</math>, czyli

W pozostałych przypadkach (kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym oraz kąt o obu ramionach stycznych do okręgu) dowód jest taki sam. Wykorzystuje twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta i łatwo go odtworzyć, posługując się poniższymi rysunkami.

 

[[Plik:Inscribed angle outside 3.svg|frame|300px|center|Kąt o obu ramionach stycznych do okręgu]]