|
'''Otoczenie''' [[Punkt (geometria)|punkt]]u – w [[topologia (dział matematyki)|topologii]] oznacza dowolny zbiór, który zawiera [[zbiór otwarty]] zawierający dany punkt.
Dokładniej, jeśli <math> ''x'' \injest Xelementem </math>, gdzie <math> X </math> jestpewnej [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniąprzestrzeni topologicznątopologicznej]] ''X'', to zbiór <math> ''V'' </math>⊆ ''X'' jest otoczeniem punktu <math> ''x </math>'', gdy istnieje taki zbiór otwarty <math> ''U'' \subseteq⊆ ''V </math> taki'', że <math> ''x'' \in∈ ''U ''. </math> InaczejInnymi mówiącsłowy, zbiór <math> ''V </math>'' jest otoczeniem punktu <math> ''x \in V </math>'', jeśli punkt <math> x \;</math>ten należy do [[wnętrze (matematyka)|wnętrza]] <math>\operatorname{Int}( ''V)</math>'' zbioru <math> ''V\;</math>''<ref>{{cytuj książkę| autor=Kazimierz Kuratowski| autor link = Kazimierz Kuratowski|tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii| miejsce=Warszawa|wydawca = PWN| rok = 1962| strony=109}}</ref>.
Zauważmy,Tak żerozumiane takpojęcie rozumianeotoczenia otoczeniepunktu ''nie musi'' być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.
'''Uwaga:''' Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją ''wyłącznie'' zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się '''otoczeniem otwartym'''.
__TOC__
Jeżeli <math> ''S </math>'' jest [[podzbiór|podzbiorem]] <math> ''X </math>'', pod pojęciem '''otoczenia zbioru''' <math> ''S'' </math>rozumie rozumiemysię zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera <math> ''S </math>''. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.
[[Rodzina zbiorów|Rodzina]] wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest [[baza otoczeń|bazą otoczeń]] (punktu).
== Przestrzeń metryczna ==
W [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] <math> ''X </math>'' z metryką <math> ''d </math>'' otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: <math> ''V </math>'' jest otoczeniem punktu <math> ''p </math>'' jeśli istnieje [[kula]] otwarta o środku w punkcie <math> ''p </math>'' i promieniu <math> ''r'' </math> 0
: <math>B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}</math>
zawarta w zbiorze <math> ''V ''. </math>
'''Otoczeniem jednostajnym''' zbioru <math> ''S </math>'' w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór <math> ''V </math>'' o tej własności, że istnieje taka liczba <math> ''r'' > 0 </math> taka, że dla każdego <math> ''p'' \in∈ ''S </math>'' kula otwarta
: <math>B_r(p) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}</math>
zawarta jest w zbiorze <math> ''V </math>''. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru <math> ''S ''. </math>
== System otoczeń a topologia ==
== Otoczenie a sąsiedztwo ==
W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia '''sąsiedztwa punktu''', które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli <math> ''V </math>'' jest otoczeniem punktu <math> ''x </math>'', to zbiór
:<math> V_x = V \setminus \{ x \} </math>
jest sąsiedztwem punktu <math> ''x ''. </math>
== Przykłady ==
W zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu <math> ''x </math>'' jest dowolny taki [[przedział (matematyka)|przedział otwarty]] <math> (''a'', ''b'') </math> taki, że <math> ''a'' < ''x'' < ''b </math>''. Sąsiedztwem punktu <math> ''x </math>'' jest wówczas zbiór
:<math> (a,b) \setminus \{ x \} = (a,x) \cup (x,b) . </math>
Otoczeniem otwartym punktu na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] euklidesowej jest [[koło (geometria)|koło]] bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).
| 