Macierz: Różnice pomiędzy wersjami

Każdy endomorfizm <math>\scriptstyle \mathrm A</math> odwzorowuje całą przestrzeń, na której jest określony, w siebie (na mocy definicji endomorfizmu); podobnie zawsze odwzorowuje on w siebie podprzestrzeń zerową (wprost z definicji przekształcenia liniowego). W ogólności może on jednak odwzorowywać daną podprzestrzeń w niemającą z nią związku, zupełnie inną podprzestrzeń. Informacja o tym, które z podprzestrzeni są <math>\scriptstyle \mathrm A</math>-''niezmiennicze'', czyli odwzorowywane przez <math>\scriptstyle \mathrm A</math> w siebie, może ułatwić zrozumienie tego jak przekształcenie <math>\scriptstyle \mathrm A</math> działa na całej przestrzeni poprzez badanie jak działa na niezależnych od siebie podprzestrzeniach składowych<ref group="uwaga">Chodzi o podprzestrzenie, których (wewnętrzna) [[Suma prosta przestrzeni liniowych|suma prosta]] daje całą przestrzeń; zob. [[Przekształcenie liniowe#Endomorfizmy|twierdzenie o endomorfizmie]].</ref>. W kontekście macierzy podprzestrzenie niezmiennicze mogą ułatwić ich rozkład (zob. ''[[#Rozkłady macierzy|Rozkłady macierzy]]'')<ref group="uwaga">Może to być szczególnie widoczne po wybraniu odpowiedniej bazy.</ref>.

W fizyce macierze stosuje się również do opisu liniowo sprzężonych [[ruch harmoniczny|układów harmonicznych]]. [[RównanieKinematyczne równanie ruchu|Równania ruchu]] takich układów można opisać za pomocą macierzy, gdzie ''macierz masy'' przemnożona przez uogólnioną prędkość daje wyraz kinetyczny, a ''macierz siły'' przemnożona przez ''macierz przesunięcia'' (odpowiadającą wektorowi przesunięcia) charakteryzuje interakcje. Najlepszą metodą uzyskiwania rozwiązań jest wyznaczenie wektorów własnych układu, jego drgań swobodnych, poprzez diagonalizację równania macierzowego. Techniki tego rodzaju są istotne, gdy w grę wchodzi wewnętrzna dynamika cząsteczek: drgania wewnętrzne układu składającego się ze wzajemnie związanych atomów. Wykorzystuje się je również do opisu drgań mechanicznych i oscylacji w obwodach elektrycznych.