Proces Lévy’ego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Luka.stuka (dyskusja | edycje) m +kat. |
wzor leviego-chinczyna |
||
Linia 5:
#proces <math>X_t</math> jest ciągły wg prawdopodobieństwa tzn. <math>lim_{s \to t} P(|X_s - X_t| > \varepsilon) = 0</math>.
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (RCLL, cadlag) procesem Lévy'ego.
Rozkład procesu Levy'ego w momencie t, <math>X_t</math> jest [[rozkładem nieskończenie podzielnym]]. Zazwyczaj, oprócz szczególnych przypadków, nie sposób podać gęstości procesu Leviego, <math>X_t</math>. Znany jest jednak ogólny wzór na funkcję charakterystyczną procesu Levy'ego w chwili t - tzw. [[wzór Levy'ego-Chinczyna]]:
<math> E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}</math>,
gdzie
<math> \psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1 - i<u,y> 1_{\| x\| \leq 1}(y)\right] \nu(dy), </math>
przy czym
<math> \nu </math> jest miarą na <math> R^d - \{0\} </math> spełniającą warunek
<math> \int_{R^d - \{0\}} \left( \| y \|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, </math>
a <math>A </math> jest macierzą dodatnio określoną.
| |||