Zasada ekwipartycji energii: Różnice pomiędzy wersjami

poprawiono wyprowadzenie i podano ogolną posać
m (robot dodaje: de, fr, ja, nl, sl)
(poprawiono wyprowadzenie i podano ogolną posać)
Zasada ekwipartycji energii została zaproponowana w [[1867]] r. przez [[James Clerk Maxwell|Maxwella]], który zauważył że energia gazu jest równo dzielona miedzy ruch postępowy i obrotowy. [[Ludwig Boltzmann]] w [[1868]] r. i [[1872]] r. ostateczenie udowodnił, że energia jest w taki sposób dzielona między wszytskie stopnie swobody ruchu cząstki.
 
==Ogolna postać==
<math> <p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}>=kT</math>
 
gdzie:
 
*<math>T \,</math> - [[temperatura]] układu w [[kelwin|kelwinach]],
*<math>k\,</math> - [[stała Boltzmanna]],
*<math>p_{i} \,</math> - i-ta składowa [[pęd|pędu]] uogólnionego,
*<math>H \,</math> - [[Hamiltonian]] układu,
 
gdy zapiszemy Hamiltonian układu N cząstek swobodnych:
 
<math>H= \sum_{j=1}^{3N} \frac {p_j^2} {2m} </math>
otrzymamy poprzednią postać zasady ekwipartycji:
 
<math> <\frac {p_i^2} {2m}>= <E>=\frac {kT} {2}</math>
 
gdzie E jest tutaj energią przypadającą na jeden stopień swobody.
==Wyprowadzenie==
 
Skorzystamy z [[Rozkład kanoniczny|rozkładu kanonicznego]]
Na podstawie wzoru termodynamicznego opisującego zależność średniej [[energia kinetyczna|energii kinetycznej]] od [[temperatura|temperatury]], dla gazu doskonałego :
Dla dowolnej wielkości A zachodzi:
 
<math> <A>=\frac{\int \;d\Gamma A(q,p)e^{\frac{-H}{kT}}}{\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}</math>
 
Zatem:
 
<math> <p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}>=\frac{\int \;d\Gamma p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}e^{\frac{-H}{kT}}}{\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}</math>
 
Zapiszmy:
 
<math>T d\Gamma= \bar{2 d\over 3kGamma} <E_{k}> \,dp_i</math>
 
Wtedy:
Po przekształceniu wzoru uzyskamy zależność :
 
<math> <p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}>=\frac{\int \;\bar{d\Gamma} \int \;dp_i p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}e^{\frac{-H}{kT}}}{\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}</math>
<math><E_{k}> = {3 \over 2} k T \,</math>
 
Zauważmy że:
I trzeba dodać, że jest to średnia energia kinetyczna '''pojedynczej''' cząstki. Każda cząsteczka gazu jednoatomowego ma trzy składowe prędkości, przy wielkiej liczbie cząstek naturalne wydaje się że żaden kierunek nie jest wyróżniony, więc <math><v_x^2>=<v_y^2>=<v_z^2></math>, wtedy
<math>\frac{\partial H} {\partial p_i}e^{\frac{-H}{kT}}=-kT \frac {\partial} {\partial p_i} e^{\frac{-H}{kT}} </math>
Wtedy:
<math> <p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}>=-kT \frac{\int \;\bar{d\Gamma} \int_{-\infty}^{\infty} \;dp_i p_{i}\frac {\partial} {\partial p_i} e^{\frac{-H}{kT}}}{\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}</math>
 
Całkując przez części, zauważamy że pierwszy człon znika i ostatecznie:
<math><E_k>=\frac{m}{2}<v^2>=\frac{m}{2}(<v_x^2>+<v_y^2>+<v_z^2>)=\frac{3}{2}m<v_x>^2</math>
 
<math> <p_{i} \frac{\partial H} {\partial p_i}>=kT \frac{\int \;\bar{d\Gamma} \int_{-\infty}^{\infty} \;dp_i e^{\frac{-H}{kT}}}{\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}=kT \frac {\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}} {\int \;d\Gamma e^{\frac{-H}{kT}}}=kT</math>
Ponieważ taka cząstka ma trzy stopnie swobody, z tego wniosek, że na każdy stopień swobody przypada energia <math>\frac{1}{2}kT</math>
 
==Energia Wewnętrzna==
38

edycji