Pęd (fizyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 38 bajtów ,  15 lat temu
m (ka:)
===Pędy uogólnione, opis Hamiltonowski===
 
Ukoronowaniem klasycznej koncepcji pędu jest opis [[Hamiltonian|Hamiltonowski]] mechaniki układu. Model układu zadaje się poprzez krok pośredni polegający na określeniu jego [[Lagranżjan|lagranżjanu]]. Jest to [[funkcjonał]] równy K - U gdzie K jest członem kinetycznym <math>m*V^2/2</math> zaś <math>U(q)</math> jest [[energia|energią]] potencjalną. Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendrea do Hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcja współrzędnych <math>q</math> i ich pochodnych po czasie - prędkości - <math>\dot{q}</math>. Taki zestaw współrzędnych nazywamy '''współrzędnymi konfiguracjnymi''' gdyż opisują zachowanie się układu na [[Rozmaitość (matematyka)|rozmaitości]] dostępnych dla niego położeń - konfiguracji. Transformacja Legendrea to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania:
 
<math>L=T-U </math>
 
gdzie T jest energią kinetyczną <math>\frac{mv^2} {2}</math> zaś <math>U(q)</math> jest [[energia|energią]] potencjalną. Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendrea do Hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcja współrzędnych <math>q</math> i ich pochodnych po czasie - prędkości - <math>\dot{q}</math>. Taki zestaw współrzędnych nazywamy '''współrzędnymi konfiguracjnymi''' gdyż opisują zachowanie się układu na [[Rozmaitość (matematyka)|rozmaitości]] dostępnych dla niego położeń - konfiguracji. Transformacja Legendrea to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania:
 
 
 
 
gdzie:
gdzie: <math>p= \partial L / \partial \dot{q}</math> jest pędem uogólnionym. W wyniku prostych obliczeń mozna pokazać, że <math>H=K+U</math> czyli hamiltonian jest funkcjonałem energii mechanicznej układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę '''zmiennych kanonicznych''', pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w [[przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]] układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do [[Przestrzeń liniowa|wektorowej przestrzeni]] do niej [[przestrzeń styczna|stycznej]]. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe, oraz, że w wyniku nie zawsze dostaniemy <math>p=m*v</math> choć dla układów bez [[więzy|więzów]] tak będzie.
 
<math>p= \frac{\partial L } {\partial \dot{q}}</math>
 
gdzie: <math>p= \partial L / \partial \dot{q}</math> jest pędem uogólnionym. W wyniku prostych obliczeń mozna pokazać, że <math>H=K+U</math> czyli hamiltonian jest funkcjonałem energii mechanicznej układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę '''zmiennych kanonicznych''', pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w [[przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]] układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do [[Przestrzeń liniowa|wektorowej przestrzeni]] do niej [[przestrzeń styczna|stycznej]]. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe, oraz, że w wyniku nie zawsze dostaniemy <math>p=m*v</math> choć dla układów bez [[więzy|więzów]] tak będzie.
 
Równania ruchu wyprowadzane w formaliźmie Lagrangea noszą nazwe równań Eulera-Lagrange'a, zaś w formaliźmie Hamiltona równań Hamiltona. Obydwa sposoby opisu są równoważne o ile możemy wykonać transfromacje Legendre`a. Rozwiązania równań hamiltona są łatwiejsze gdyż mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi <math>(p,q)</math>, inaczej niż w formaliźmie Lagrange'a, gdzie zmiennymi sa q, i jego pochodna w czasie. Jednocześnie konstrukcja lagranżjanu prowadzona jest z zasad symetrii i na ogół prostsza niż zgadnięcie od razu gotowej postaci hamiltonianu. Dodatkowo w niektórych przypadkach możliwe staje się uwzględnienie więzów które wchodzą w całe rozumowanie jako [[mnożnik lagrange'a|mnożniki Lagrange'a]], powodują zmianę postaci funkcyjnej pędu (w stosunku do newtonowskiego <math>p=m*v</math>) i zostaja włączone w równania, co powoduje że dalsze obliczenia na ogół są łatwiejsze do wykonania, a przynajmniej zmniejszaja liczbe równań przez jawną eliminację równań więzów.
38

edycji