Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

m
WP:CHECK - eliminacja błędu #22 (spacja w kategorii); zmiany kosmetyczne
m (main -> osobny artykuł)
m (WP:CHECK - eliminacja błędu #22 (spacja w kategorii); zmiany kosmetyczne)
W [[matematyka|matematyce]] '''dyskretyzacja''' dotyczy procesu transformowania modeli i równań [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na ich [[Dyskretny|dyskretne]] odpowiedniki. Jest to zwykle pierwszy krok w procesie przygotowywania tych modeli (i równań) do [[metody numeryczne|ewaluacji numerycznej]] i implementacji na [[komputer cyfrowy|komputerach cyfrowych]]. Do przetwarzania na komputerze cyfrowym ponadto potrzebne jest wykonanie [[Kwantyzacja (technika)|kwantyzacji]].
 
Szczególnie istotne są tu :
* dyskretyzacja Eulera (zob. [[metoda Eulera]])
* [[Ekstrapolator rzędu zerowego|ekstrapolator rzędu zerowego (ang. ''ZOH'', ''Zero-order hold'')]].
Dyskretyzacja związana jest także z [[matematyka dyskretna|matematyką dyskretną]] i jest ważną częścią [[(komputerowych) obliczeń ziarnistych]] (ang. ''granular computing'') stosowanych w [[Mechanika komputerowa|mechanice komputerowej]]. W tym kontekście ''dyskretyzacja'' odnosi się także do modyfikacji zmiennej w kategorii ''ziarnistości'' gdy agreguje się wiele zmiennych dyskretnych albo dokonuje się fuzji wielu kategorii dyskretnych.
 
== Dyskretyzacja równań różniczkowych metodą Eulera ==
{{osobny artykuł|Metoda Eulera}}
Można wykonać projekt [[układ regulacji ciągłej|układu sterowania ciągłego]] i zaimplementować go w [[układ dyskretny|układzie dyskretnym]] stosując metody aproksymacji [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]]. Pewnym szczególnym sposobem realizacji aproksymaty dla komputera cyfrowego w celu rozwiązania równania różniczkowego jest [[metoda Eulera]]. Metoda ta może być wyprowadzona z następującej definicji [[różniczka|różniczki]]:
w równaniach różniczkowych regulatora. W ten sposób uzyskuje się zbiór [[równanie algebraiczne|równań algebraicznych]], które mogą być rozwiązane przez komputer cyfrowy. Równania te znane są jako [[równanie różnicowe|równania różnicowe]] i są rozwiązywane cyklicznie (z dyskretnym krokiem czasowym o długości <math>T\,</math>).
 
== Dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej ==
W [[teoria sterowania|teorii sterowania]], metodę projektowania [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] polegająca na zaprojektowaniu kompensatora czasu ciągłego, a następnie zastąpieniu go równoważnikiem dyskretnym tak by można go zaimplementować w urządzeniu cyfowym nazywa się ''emulacją''. Metoda ta jest bardzo szeroko używana przez inżynierów praktyków. Przydatne stają się wówczas dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej.
 
Dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej to transmitancje dyskretne, które aproksymują te same charakterystyki (w pewnym zakresie częstotliwości) jak dana transmitancja czasu ciągłego <math>G(s)\,</math>. Można w tym celu zastosować poniższe metody realizujące to zadanie:
* równoważność ekstrapolacji - metoda ta polega na pobieraniu próbek sygnału wejściowego, następnie ekstrapolacji pomiędzy próbkami do postaci aproksymacji sygnału i przesyłaniu tych aproksymacji przez transmitancję układu.
 
=== Całkowanie numeryczne ===
Całkowanie numeryczne jest zadaniem dość złożonym. Najbardziej elementarne techniki z tego zakresu to reguły o małej złożoności i ustalonym rozmiarze kroku. W metodzie tej daną transmitancję układu
ciągłego <math>G(s)\,</math> zastępuje się przez równanie różniczkowe a następnie wyprowadza się równania różnicowe będące aproksymacją równań różniczkowych.
* reguła trapezu.
 
W regule prostokatnej wprzód obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wprzód od chwili kT do chwili kT+T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
:<math>u_{1} (kT + T) = u_{1} (kT)+ Te(kT)\,</math>
gdzie wyrażenie <math>u_{1}(kT)\,</math> reprezentuje obszar pod całkowaną krzywą e(t) w przedziale od t = 0 do t = kT. Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>G_{F}(z)= \frac {U_{1}(z)}{E(z)}= \frac{T}{z-1} = \frac{1}{\frac{z-1}{T}}\,</math>.
 
W regule prostokatnej wstecz obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wstecz od chwili kT do kT-T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
:<math>u_{2} (kT) = u_{2} (kT-T)+ Te(kT)\,</math>
Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
dokładnie na stabilny obszar [[płaszczyzna Z|płaszczyzny z]], przy tym cała oś <math>j\omega\,</math> [[płaszczyzna S|płaszczyzny s]] jest skompresowana na długości obwodu [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]].
 
== Dyskretyzacja modelu układu liniowego w przestrzeni stanów ==
Dyskretyzacja stosowana jest też przy transformacji ciągłych [[równania różniczkowe|równań różniczkowych]] do [[Dyskretny|dyskretnych]] [[równanie różnicowe|równań różnicowych]], odpowiednich dla [[analiza numeryczna|analizy numerycznej]].
 
:<math>\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)</math>
 
gdzie <math>v\,</math> i <math>w\,</math> to źródła ciągłego [[Szum biały|szumu białego]] o zerowej średniej z [[kowariancja|kowariancjami]]mi
 
:<math>\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q)</math>
:<math>\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{v}[k]</math>
 
z [[kowariancja|kowariancjami]]mi
 
:<math>\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d)</math>
:<math>\mathbf B_d = M_{12} </math>
 
=== Dyskretyzacja szumu procesu ===
Numeryczna ewaluacja <math>\mathbf{Q}_d</math> jest nieco bardziej złożona z uwagi na całkę [[eksponenta macierzy|eksponenty macierzy]]. Można ją, jednakże, wyliczyć poprzez skonstruowanie najpierw macierzy a następnie wyliczenie na komputerze jej eksponenty:
 
:<math>\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^T)^T (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). </math>
 
=== Wyprowadzenie ===
Rozpoczynając z modelem ciągłym
:<math>\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)</math>
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
 
=== Aproksymacje ===
Dokładna dyskretyzacja czasami może być trudna z uwagi na dużą [[eksponenta macierzy|eksponentę macierzy]] i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T</math>. Przybliżone rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
:<math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + (\mathbf I T + \frac{1}{2} \mathbf A T^2 ) \mathbf B \mathbf u[k] </math>
Inne możliwe aproksymacje to: <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1}</math> i <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2} \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1}</math>. Każda z nich ma inne własności związane ze stabilnością. Ostatnia znana jest jako [[Metoda Tustina|transformacja Tustina]] (transformacja bilinearna) i zachowuje [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilność]] lub odpowiednio niestabilność układu czasu ciągłego.
 
== Dyskretyzacja własności ciągłych ==
{{osobny artykuł|Dyskretyzacja (statystyka)}}
W [[statystyka|statystyce]] i w [[uczenie maszynowe|uczeniu maszynowym]] termin ''dyskretyzacja'' odnosi się do procesu konwersji ciągłych własności lub zmiennych na zdyskretyzowane lub nominalne własności. Może to być użyteczne przy tworzeniu masowych funkcji prawdopodobieństwa.
 
== Zobacz też ==
* [[przestrzeń dyskretna]]
* [[przestrzeń czasowa]]
 
[[Kategoria: Matematyka dyskretna]]
[[Kategoria: Teoria sterowania]]
 
[[de:Diskretisierung]]
186 891

edycji