Twierdzenie o izomorfizmie: Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne
(drobne redakcyjne)
(drobne redakcyjne)
'''Twierdzenie o izomorfizmie''' – [[twierdzenie]] [[matematyka|matematyczne]], szeroko stosowane w [[Algebra ogólna|algebrze uniwersalnej]], mówiące o istnieniu pewnych [[transformacja naturalna|naturalnych izomorfizmów]].
 
Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla [[homomorfizm]]ów [[moduł (matematyka)|modułów]] przez [[Emmy Noether]] w jej dziele ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'' („Abstrakcyjne konstrukcje teorii ideałów w algebraicznych ciałach liczbowych i funkcyjnych”) opublikowanej w 1927 roku w [[Mathematische Annalen]]. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń mogąmożna być znalezioneznaleźć w pracach [[Richard Dedekind|Richarda Dedekinda]] i wcześniejszych dziełachpracach Noether.
 
Trzy lata później [[Bartel Leendert van der Waerden|B.L. van der Waerden]] wydał swoją doniosłą ''Algebrę'', pierwszy podręcznik [[algebra abstrakcyjna|algebry abstrakcyjnej]], który podjął,wykorzystywał (teraz tradycyjne,) podejście do przedmiotu: [[grupa (matematyka)|grupy]]-[[pierścień (matematyka)|pierścienie]]-[[ciało (matematyka)|ciała]]. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z [[teoria grup|teorii grup]] u Noether i algebry u [[Emil Artin|Emila Artina]] oraz seminarium prowadzone przez Artina, [[Wilhelm Blaschke|Wilhelma Blaschke]], [[Otto Schreier|Ottona Shreiera]] i samego van der Waerdena dotyczące [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]]. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane ''twierdzeniem o homomorfizmie'' oraz, w odniesieniu do grup, ''dwoma prawami izomorfizmów''.
 
== Grupy ==
TwierdzeniaPoniższe twierdzenia o izomorfizmie zostaną najpierw wyrażone dla [[grupa (matematyka)|grup]], gdzie przyjmują prostszą postać niż ich ogólne odpowiedniki i wyrażają ważne własności [[grupa ilorazowa|grup ilorazowych]].; Wszystkiewe trzywszystkich dotyczątrzech „dzielenia”„dzielnikiem” przezjest [[podgrupa normalna|podgrupę normalną]] („dzielnik normalny”).
 
=== Pierwsze twierdzenie ===
* [[jądro (algebra)|jądro]] <math>K</math> homomorfizmu <math>f</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] <math>G,</math>
* [[Obraz i przeciwobraz|obraz]] <math>f</math> jest [[podgrupa|podgrupą]] <math>H,</math> a
* [[grupa ilorazowa]] <math>G/K,</math> nazywana czasem '''koobrazem''', jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z obrazem <math>f.</math>
 
Jeżeli ciąg rozszczepia się, to <math>G</math> jest w rzeczywistości [[iloczyny grup|iloczynem półprostym]]. W [[kategoria abelowa|kategorii abelowej]] [[lemat o rozszczepianiu]] uściśla ten fakt do rozkładu <math>G</math> na [[Iloczyny grup#Suma prosta|sumę prostą]].
 
== Pierścienie i moduły ==
Twierdzenia o izomorfizmie zachodząobowiązują również dla [[moduł (matematyka)|modułów]] nad ustalonym [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] <math>R</math> (a więc również i dla [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]]). NależyW sformułowania należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „<math>R</math>-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „[[Moduł (matematyka)#Podmoduły i homomorfizmy|podmoduł]]”, a „grupa ilorazowa” na „[[moduł ilorazowy]]”.
 
W przypadku przestrzeni liniowych pierwsze twierdzenie o izomorfizmie nosi nazwę [[twierdzenie o rzędzie|twierdzenia o rzędzie]].
Anonimowy użytkownik