Optymalizacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

WP:SK, drobne redakcyjne
(WP:SK, drobne redakcyjne)
[[Plik: MaximumParaboloid.png | right | thumb |Maksimum [[Paraboloida|paraboloidy]] ]]
'''Optymalizacja (matematyka)''', w [[matematyka|matematyce]]problem terminpolegający optymalizacjana odnosi się do problemu znalezieniaznalezieniu [[ekstremum]] ([[minimum]] lub [[maksimum]]) zadanej funkcji celu.
 
== Definicja formalna ==
Niech dana będzie [[funkcja]] <math>f</math>:
: <math>f \colon A \mapsto \R</math>
gdzie <math>A \subset \R^n</math>. '''Zadanie optymalizacji''' polega na znalezieniu takiej wartości <math>x^{\ast} \in A</math>, że dla każdego <math>x \in A \backslash \{x^{\ast}\}</math> zachodzi:
: <math>f(x) > f(x^{\ast})</math>
 
Problemem równoważnym jest znalezienie maksimum funkcji - problem zdefiniowany jest tak samo jak powyżej z wyjątkiem zmiany znaku funkcji <math>f</math>.
O ile definicja matematyczna optymalizacji jest prosta, tak praktyczne wyznaczanie optimum już nie jest. W wielu problemach rzeczywistych mamy do czynienia z bardzo skomplikowaną daną funkcją, dla której wyszukanie optimum globalnego lub w zadanym zakresie nie jest łatwe. Na przestrzeni lat stworzono wiele algorytmów wyszukiwania optimum (algorytmy optymalizacji) oraz rozwinął się nowy dział badań naukowych, nazywany [[badania operacyjne|badaniami operacyjnymi]].
 
== Optymalizacja statyczna i dynamiczna ==
Zadania optymalizacji dzielimy na dwie podstawowe klasy:
* optymalizację statyczną (sprowadzającą się do poszukiwania [[ekstremum]] [[funkcja|funkcji]]) oraz
* optymalizację dynamiczną, sprowadzającą się do poszukiwania [[ekstremum]] [[funkcjonał|funkcjonału]]u.
 
Optymalizacja statyczna zajmuje się poszukiwaniem optymalnego punktu pracy, czyli takiego, w którym wartość funkcji celu jest najlepsza. Zależnie od sformułowania zadania będzie to wartość największa i najmniejsza, ale zawsze ekstremalna. Poszukiwanie ekstremum może się odbywać w pewnym ograniczonym obszarze zawierającym tylko jedno ekstremum - mówimy wówczas o poszukiwaniu ekstremum lokalnego. Może też odbywać się w całej przestrzeni argumentów i wówczas mówimy o poszukiwaniu ekstremum globalnego. Zadanie nie zawsze udaje się rozwiązać poprawnie. Mimo bowiem istnienia ekstremum globalnego procedura poszukiwania może się zakończyć w punkcie będącym ekstremum lokalnym. Większość algorytmów numerycznych to algorytmy poszukiwania ekstremum lokalnego. Skuteczność działania takich procedur jest więc w dużym stopniu uwarunkowana wyborem odpowiedniego punktu startowego.
Typowe zagadnienie optymalizacji dynamicznej polega na poszukiwaniu takiego ciągu decyzji w danym przedziale czasu, który zapewni ekstremum pewnego wskaźnika jakości zależącego od przebiegu zmian tej decyzji, określanym na całym przedziale czasu. Wskaźnik jakości jest więc funkcjonałem tej decyzji, określanym na danym przedziale czasu.
 
== Metody optymalizacji ==
* [[metoda Newtona (optymalizacja)]]
* [[przeszukiwanie tabu]]
* [[algorytm punktu wewnętrznego]]
 
== Zobacz też ==
* [[optymalizacja]]
* [[sterowanie optymalne]]