Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami

'''Pochodna kierunkowa''' – pojęcie charakteryzujące przyrost wartości [[funkcjaFunkcja wielu zmiennych|funkcji wielu zmiennych]] <math>\mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]</math> w kierunku ustalonego [[wektor]]a <math>\mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n</math>. Stanowi ono uogólnienie [[pochodna cząstkowa|pochodnej cząstkowej]], w której wspomniane wektory są równoległe względem osi [[układ współrzędnych|układu]].

Niech dana będzie [[przestrzeń euklidesowa]] <math>\mathbb R^n</math> i leżącyzawarty w niej [[zbiór otwarty|podzbiór otwarty]] <math>UA.</math> Funkcja <math>\mathrm f\colon UA \to \mathbb R^mn</math> ma '''pochodną kierunkową''' wzdłuż wektora ([[wektor jednostkowy|jednostkowego]]) <math>\mathbf u =[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n</math> w punkcie <math> \mathrmmathbf x =[x_1,\ldots,x_n]\in UA,</math> jeżeli istnieje skończona [[granica funkcji|granica]]

: <math>\nabla frac{\mathrmpartial f(\mathrmmathbf x) }{\cdotpartial \mathbf u} = \oversetlim_{t \undersetto 0}\mathrmfrac{ozn}f(\mathbf =x \nabla_+ t\mathbf u) - \mathrm f(\mathrm x),}{t}.</math>

Niekiedy zezwala się na branieDefinicja pochodnej kierunkowej w kierunku niejednostkowego (i niezerowego) wektora <math>\mathbf v,</math> który nie jest jednostkowy. Wówczas należy zmodyfikować powyższą definicję, aby odzwierciedlić fakt, iż <math>\mathbf v</math> może nie być znormalizowany; w tenma sposóbpostać:

: <math>\frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrmmathbf x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\mathrm f(\mathrmmathbf x + t\mathbf v) - \mathrm f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},</math>

lubgdzie w<math>|\mathbf przypadku,v|</math> gdyoznacza długość wektora <math>\mathrmmathbf v</math>. Gdy <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>\mathrm x,</math>, to

: <math>\frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrmmathbf x) = \operatorname D\mathrm !f(\mathrmmathbf x)\left(\tfrac{\mathbf v}{|\mathbf v|}\right).</math>

TakaDefinicja notacjapochodnej kierunkowej dla wektorów, które nie są jednostkowe (nieoznaczone dla wektora zerowego)niejednostkowych jest jednak niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne [[algebra różniczkowa|algebry różniczkowej]] tworzą [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]].

: <math>\tfrac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf u}(\mathrmmathbf x),\; \operatorname D_\mathbf u \mathrm f(\mathrmmathbf x),\; \mathrm f'_\mathbf u(\mathrmmathbf x),\; \nabla_\mathbf u \mathrm f(\mathrmmathbf x),\; \mathbf u \nabla \mathrm f(\mathrmmathbf x).</math>

Ponieważ dla funkcji <math>f(x, y) = x^2 + xy - y^2</math> jest

to pochodna kierunkowa <math>f</math> w kierunku jednostkowego wektora <math>[u,\mathbf v]u = \left[\frac{1}{\sqrt 5},\ \frac{2}{\sqrt 5}\right]</math> wynosi

: <math>\nabla_{[u,\mathbf v]u} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot [u,\mathbf v]u = \frac{1}{\sqrt 5}(2x + y) + \frac{2}{\sqrt 5}(x - 2y) = \frac{4}{\sqrt 5}x - \frac{3}{\sqrt 5}y = \frac{4x - 3y}{\sqrt 5}.</math>

Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłej [[pochodna|pochodnej]]. Wśród nich, dla funkcji <math>\mathrm f</math> i <math>\mathrm g</math> określonych w [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] <math>p,\mathbf x</math> w którym są również [[pochodna zupełna|różniczkowalne]]:

* reguła sumy: <math>\nabla_\mathbf v (\mathrm f + \mathrm g) = \nabla_\mathbf v \mathrm f + \nabla_\mathbf v \mathrm g;</math>

* reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c\in R</math> zachodzi <math>\nabla_\mathbf v (c\mathrm f) = c\nabla_\mathbf v \mathrm f;</math>

* [[reguła Leibniza|reguła iloczynu]] (lub Leibniza): <math>\nabla_\mathbf v(\mathrm{fg}) = \mathrm g\,\nabla_\mathbf v \mathrm f + \mathrm f\,\nabla_\mathbf v \mathrm g;</math>

* [[reguła łańcuchowa]]: jeśli <math>\mathrm g</math> jest różniczkowalna w <math>\mathrmmathbf p,x</math> zaś <math>\mathrm h</math> jest różniczkowalna w <math>\mathrm g(\mathrmmathbf px),</math> to

*: <math>\nabla_\mathbf v (\mathrm h \circ \mathrm g)(\mathrmmathbf px) = \nabla \mathrm h\bigl(\mathrm g(\mathrmmathbf px)\bigr) \nabla_\mathbf v \mathrm g(\mathrmmathbf px)</math>