Pochodna kierunkowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Ujednolicenie zapisu funkcji i zmiennych z innymi artykułami Wikipedii.
Uproszczenie zapisu przykładu. |
Rozdzielenie zapisu pochodnej kierunkowej na przypadek 1 i wielowymiarowy |
||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Pochodna kierunkowa''' – pojęcie charakteryzujące przyrost wartości [[Funkcja wielu zmiennych|funkcji wielu zmiennych]] <math>\mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]</math> w kierunku ustalonego [[wektor]]a <math>\mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n</math>. Stanowi ono uogólnienie [[pochodna cząstkowa|pochodnej cząstkowej]], w której
== Definicja
Niech dana będzie [[przestrzeń euklidesowa]] <math>\mathbb R^n</math> i zawarty w niej [[zbiór otwarty|podzbiór otwarty]] <math>A.</math>
'''Pochodną kierunkową''' funkcji <math>f\colon A \to \mathbb R</math> wzdłuż wektora [[wektor jednostkowy|jednostkowego]] <math>\mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n</math> w punkcie <math> \mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]\in A</math> nazywamy granicę
: <math>\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{
zakładając, że granica ta istnieje.
'''Twierdzenie: '''Niech''' ''' <math>\nabla f(\mathbf x) </math> oznacza [[Gradient (matematyka)|gradient]] funkcji w punkcie <math>\mathbf x</math>
: <math>\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\mathbf x + t\mathbf u) - f(\mathrm x)}{t}.</math>▼
<math>\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right].</math>
i załóżmy, że gradient ten istnieje (tzn. że jeżeli <math>f</math> jest [[pochodna|różniczkowalna]] w punkcie <math>\mathbf x</math>). Wtedy pochodną kierunkową można obliczyć z [[Iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]] gradientu i wektora <math>\mathbf u</math>
: <math>\nabla_\mathbf u f(\mathbf x)
=
\nabla f(\mathbf x) \cdot \mathbf u
:
Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego (i niezerowego) wektora <math>\mathbf v</math> ma postać:
: <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf v}(\mathbf x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(\mathbf x + t\mathbf v) - f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},</math>
Linia 27:
Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:
: <math>\tfrac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathbf x),\; \operatorname D_\mathbf u f(\mathbf x),\; f'_\mathbf u(\mathbf x),\; \nabla_\mathbf u f(\mathbf x),\; \mathbf u \nabla f(\mathbf x).</math>
Dla bardziej ogólnego przypadku [[Pochodna Frécheta#Przypadek skończeniewymiarowy|pochodnej Frécheta]] <math>\operatorname D\! f(\mathbf x)</math> pochodną kierunkową wyznacza wzór:
▲: <math>\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \
== Przykład ==
| |||