== Własności ==
Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłejidentycznych jak zwykła [[pochodna|pochodnej]]. Wśród nich, dla funkcji <math> f</math> i <math> g</math> określonych w [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] punktu <math>\mathbf x</math>, w którym funkcje te są również [[pochodna zupełna|różniczkowalne]], słuszne są reguły:
* reguła sumy: <math>\nabla_\mathbf v ( f + g) = \nabla_\mathbf v f + \nabla_\mathbf v g,</math>
* reguła stałej: dla dowolnej stałej <math>c\in R</math> zachodzi <math>\nabla_\mathbf v (c f) = c\nabla_\mathbf v f,</math>
=== Przestrzenie liniowe ===
{{osobny artykuł|pochodna cząstkowa}}
Jeśli <math>(\{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n)\}</math> jest [[baza (przestrzeń liniowa)|bazą]] [[baza standardowa|standardową]] w <math>\mathbb R^n,</math> to dla <math>\mathbf u = \mathbf e_i</math> pochodna kierunkowa funkcji <math>\mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> wzdłuż wektora dla <math>\mathbf u = \mathbf e_i</math> pokrywa się z pojęciem ''pochodnej[[Pochodna cząstkowa|pochodną cząstkową]] cząstkowej''.względem Dla funkcjizmiennej <math>\mathrm fx_i</math> przyjmuje, się zwykle oznaczenietzn.
: <math>\frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial x_i},</math>
gdzie <math>\mathrm x = ([x_1, \dots, x_n)].</math>
=== Rozmaitości różniczkowe ===
{{Zobacz też|przestrzeń styczna}}
Niech <math>Mf</math> oznacza [[rozmaitość różniczkowa|rozmaitość różniczkową]], zaś <math>f</math> będzie funkcjąfunkcję określoną w otoczeniu punktu <math>p</math> [[rozmaitość różniczkowa|rozmaitości różniczkowej]] <math>M,</math> [[pochodna zupełna|różniczkowalną]] w punkcie <math>p.</math> Jeśli; <math>v</math> jestoznacza [[wektor styczny|wektoremwektor stycznymstyczny]] do rozmaitości <math>M</math> w punkcie <math>p,</math> to ''pochodna kierunkowa'' <math>f</math> wzdłuż <math>v,</math> oznaczana symbolami <math>\nabla_v f(p)</math> (zob. ''[[pochodna kowariantna]]''), <math>\operatorname L_v f(p)</math> (zob. ''[[pochodna Liego]]'') lub <math>v_p(f)</math> (zob. ''[[przestrzeń styczna]]''), może być określona jak następuje.
Pochodną kierunkową w punkcie p wzdłuż wektora v definiuje się następująco:
Niech <math>\gamma\colon [-1, 1] \to M</math> będzie krzywą różniczkowalną <math>\gamma(0) = p</math> dla której <math>\gamma'(0) = v.</math> Pochodną kierunkową definiuje jest wtedy wzorem
: <math>\nabla_v f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ \gamma)(\tau)\Big|_{\tau = 0}.</math> ▼
DowodziNiech się, że definicja nieodwzorowanie zależy od wyboru <math>k\gammacolon [-1,</math> o1] ile\to <math>\gammaM</math> jestgeneruje wybranakrzywą jakróżniczkowalną, wskazanotaką wyżejże tak,<math>k(0) by= p</math> oraz<math>k\gamma,'(0) = v.</math> Pochodną kierunkową definiuje jest wzorem
▲: <math>\nabla_v f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ \gammak)(\tau)\Big|_{\tau = 0} .</math>
Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej <math>k</math> .
Pochodną kierunkową funkcji <math>f</math> wzdłuż wektora <math>v</math> oznacza się symbolami:
* <math>v_p(f)</math> (zob. ''[[przestrzeń styczna]]''),
* <math>\nabla_v f(p)</math> (zob. ''[[pochodna kowariantna]]''),
* <math>\operatorname L_v f(p)</math> (zob. ''[[pochodna Liego]]'').
=== Przestrzenie liniowo-topologiczne ===
{{osobny artykuł|pochodna Gâteaux}}
Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukłe]] [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]], a więc (w tym [[przestrzeń Banacha|przestrzenie Banacha]],) jest tzw. ''pochodna Gâteaux.''
== Zobacz też ==
* [[pochodna LiegoFrécheta]] ., ▼
* [[pochodna Gâteaux]],
* [[pochodna FréchetaLiego]],
* [[forma różniczkowa]],.
== Bibliografia ==
|