Zbiór skończony: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
zbiór liczb naturalnych {0,..,n-1} -> podzbiór liczb naturalnych postaci {0,...,n-1} |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Zbiór skończony''' −
W świecie rzeczywistym można spotkać się wyłącznie ze zbiorami skończonymi, choć mogą mieć one bardzo dużo elementów − przykładem może być np. liczba możliwych do zaobserwowania [[atom]]ów we [[wszechświat|wszechświecie]], którą szacuje się na ok. <math>\scriptstyle 10^{80}</math> (zob. [[widzialny wszechświat]]; wymiary [[wszechświat]]a mogą być nieskończone) – z jednej strony wynika to ze skończonej podzielności [[Materia (fizyka)|materii]] (zob. [[kwant]]), a z drugiej ze skończonej [[prędkość światła|prędkości światła]]. Zdawać by się mogło, że precyzyjne określenie czym jest zbiór skończony nie powinno nastręczać większych trudności, jednak istnieje kilka nierównoważnych definicji tego pojęcia.
Linia 6:
Mimo to we współczesnej matematyce rozpatruje się zbiory nieskończone: można traktować to jako pewnego rodzaju wybieg mający na celu łatwiejsze uchwycenie wyników procesów dziejących się w bardzo krótkim, czy bardzo długim czasie, choć bywa to okupione mniejszą intuicyjnością rozumowań (zob. [[paradoks Hilberta]]). Historycznie do XIX wieku, zgodnie z myślą [[Arystoteles]]a operowano wyłącznie zbiory skończone traktując nieskończoność jako proces, który można w razie potrzeby bez przeszkód kontynuować (w [[geometria euklidesowa#Aksjomaty Euklidesa|geometrii euklidesowej]] [[prosta]] traktowana była jako [[odcinek]], który można było nieograniczenie przedłużać); przełom przyniosły prace [[Georg Cantor|Georga Cantora]], który potraktował zbiory nieskończone jako osobne byty o własnej hierarchii (zob. [[nieskończoność|nieskończoności potencjalną i aktualną]]). Choć dziś idee teorii Cantora są szeroko akceptowane przez społeczność matematyków, to trudności w początkowej fazie jej rozwoju spowodowały opór w postaci [[finityzm]]u, [[konstruktywizm (matematyka)|konstruktywizmu]], czy [[intuicjonizm (matematyka)|intuicjonizmu]] odrzucających pojęcie nieskończoności aktualnej (zob. [[aksjomat nieskończoności|aksjomat Cantora]], nazywany też aksjomatem nieskończoności<ref>Aksjomat ten wzbudza kontrowersje, gdyż jest niezależny od pozostałych [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] [[teoria mnogości|teorii mnogości]] – również [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] – o ile są one [[niesprzeczność|niesprzeczne]] (zob. [[twierdzenie Gödla]]).</ref>).
== Definicje formalne ==
{{zobacz też|podzbiór#Zawieranie|o1=zawieranie zbiorów|moc zbioru|o2=równoliczność}}
; Definicja naturalna : ''Zbiór skończony'' to zbiór równoliczny z [[zbiór ograniczony|ograniczonym]] [[podzbiór|podzbiorem]] [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], tzn. zbiór, dla którego istnieje [[funkcja wzajemnie jednoznaczna]] tego zbioru z podzbiorem zbioru [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] postaci <math>\scriptstyle \{0, 1, 2, \dots, n-1\}</math> dla pewnego <math>\scriptstyle n</math><ref>Przyjmując, że dla <math>\scriptstyle n = 0</math> wspomniany zbiór ma postać <math>\scriptstyle \{\} = \varnothing,</math> w myśl definicji naturalnej [[zbiór pusty]] jest również skończony.</ref>.
; Definicja Tarskiego
; Definicja Dedekinda
; Definicja Dedekinda (alternatywna 1)
; Definicja Dedekinda (alternatywna 2)
Definicje pochodzące od [[Alfred Tarski|Alfreda Tarskiego]] i [[Richard Dedekind|Richarda Dedekinda]] (niealternatywna) mają zasadniczą przewagę nad definicją naturalną, mianowicie nie wykorzystują pojęcia liczby naturalnej. Rozwiązanie Dedekinda, ze względu na swą intuicyjność było do czasów prac [[Georg Cantor|Georga Cantora]] (a więc do XIX wieku) niemal powszechnie przyjmowane jako równoważne definicji naturalnej. Na gruncie [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatyki Zermelo-Fraenkela]] (ZF, bez [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] AC) [[teoria mnogości|teorii mnogości]] równoważne są definicje naturalna i Tarskiego, równoważne są wtedy także warianty definicji Dedekinda. Na mocy [[indukcja matematyczna|zasady indukcji]] definicja naturalna pociąga za sobą definicję Dedekinda, jednak pociąganie w drugą stronę wymaga użycia [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] (AC), a przynajmniej [[zasada wyborów zależnych|aksjomatu wyborów zależnych]] (DC).
|