Liczby całkowite Eisensteina: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne |
|||
Linia 4:
: <math>\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2}{3}\pi i}</math>,
oraz ''i'' jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]]. <math>\omega</math> jest pierwiastkiem zespolonym równania <math>z^2+z+1=0</math><ref>Шнирелман, op. cit., s. 29.</ref><ref>Ireland, Rosen, op. cit., s. 29.</ref>. Zarówno [[Dodawanie|suma]], [[Odejmowanie|różnica]], jak i [[Mnożenie|iloczyn]] liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one [[pierścień (matematyka)|pierścień]]. Pierścień ten jest [[Dziedzina Euklidesa|euklidesowy]] z normą <math>N</math> daną wzorem
: <math>N(a+b\omega)= |a + b\omega|^2=a^2-ab+b^2
W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest [[Pierścień z jednoznacznością rozkładu|pierścieniem z jednoznacznością rozkładu]].
Na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).
Linia 12:
# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że ''a'' jest liczbą pierwszą, taką że <math>a \equiv 2 \pmod{3}</math> oraz ''b'' = 0,
# zbioru liczb <math>a+b\omega</math>, takich że <math>N(a+b\omega)</math> jest taką liczbą pierwszą ''p'', że <math>p \equiv 1 \pmod{3}</math>.
[[Plik:Eisenstein's integer numbers.svg|thumb
[[element odwracalny|Grupa elementów odwracalnych]] pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:
: <math>+1,\, -1,\, +\omega,\, -\omega,\, +\omega^2 = -1 + \omega,\, -\omega^2 = 1 - \omega.</math><ref>Шнирелман, op. cit., s. 29.</ref><ref>Ireland, Rosen, op. cit., s. 30.</ref>
Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako [[Grupa (matematyka)|grupę]] obrotów dokoła początku układu współrzędnych [[Generatory grupy|generowaną]] przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt <math>1 \,+\, \omega</math>).
== Przykłady ==
Linia 24:
# Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby <math>2 + \omega,\, 3 + \omega,\, 4 + \omega,\, 5 + 2\omega</math>.
[[Plik:EisensteinPrimes-01.svg|thumb|300px|Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci 3''n''
== Zobacz też ==▼
* [[liczby całkowite Gaussa]]▼
{{Przypisy}}
== Bibliografia ==
▲== Zobacz też ==
▲* [[liczby całkowite Gaussa]]
== Linki zewnętrzne ==
| |||