Transformacja Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m int., ort., drobne redakcyjne
m drobne redakcyjne, drobne techniczne
Linia 18:
Warunkiem dostatecznym jest istnienie funkcji, która [[majoryzacja|majoryzuje]], czyli ogranicza wykładniczo funkcję <math>f(t)</math>: istnieje takie <math>M</math> oraz <math>d</math> i <math>t_{0}</math>, że zachodzi nierówność:
 
:<math>|f(t)|<Me^{dt}</math>, dla <math>t>t_{0}</math>.
 
== Interpretacja oraz związek z transformatą Fouriera i transformatą Z ==
Linia 37:
=== Liniowość ===
: <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
 
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>
 
=== Transformata [[Pochodna|pochodnej]] ===
Linia 47 ⟶ 45:
 
=== Pochodna transformaty ===
: <math>F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\mathcal{L}\{ t^{n} f(t)\}</math>
: <math>
F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\mathcal{L}\{ t^{n} f(t)\}</math>
 
=== Transformata [[całka|całki]] ===
Linia 63 ⟶ 60:
=== Transformata funkcji z przesunięciem ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) 1(t - a) \right\}
 
= e^{-as} F(s)</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) 1(t - a)</math>,
: gdzie <math>1(t)</math> oznacza [[Funkcja skokowa Heaviside'a|skok jednostkowy]].
 
=== [[Splot (analiza matematyczna)|Splot jednostronny]] ===
: <math>\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^t f(u)\cdot g(t-u)\, du\right\} = \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}</math>
: Jest to tzw. '''twierdzenie Borela o splocie'''.
 
=== Transformata [[funkcja okresowa|funkcji okresowej]] o okresie ''p'' ===
Linia 76 ⟶ 72:
 
=== Własności [[granica ciągu|graniczne]] ===
: <math>\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)</math>
: <math>
\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)
</math>
 
: <math>\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)</math>
: <math>
\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)
</math>
 
== Transformaty Laplace’a częściej spotykanych funkcji ==
= a: <math>\mathcal{L}\left\{ f\delta(t) \right\} += 1</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = 1e^{-as}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)at^n\right\} = ea\frac{n!}{s^{-asn+1}}
: <math>
\qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....</math>
\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}}
\qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\sin(at + b)\right\} = \frac{a\cdot \cos b + s \cdot \sin b }{s^{2}+a^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\sin(at + b)\right\} = \frac{a\cdot \cos b + s \cdot \sin b }{s^{2}+a^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\sinh(at + b)\right\} = \frac{\frac{1}{2}(a-s)e^{-b} + \frac{1}{2}(a+s)e^b}{s^2 - a^2}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\sinh(at + b)\right\} = \frac{\frac{1}{2}(a-s)e^{-b} + \frac{1}{2}(a+s)e^b}{s^2 - a^2}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{att^nne^{at}\right\} = a\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{t^nee^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{n!b}{(s-a)^{n2}+1b^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2b}\sin(bt)\right\} = \frac{s}{(s^{2}+b^{2})^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2b}\sin(bt)\right\} = \frac{s}{(s^{2}+b^{2})^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{e^{at}\sincos(bt)\right\} = \frac{bs-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}</math>
: <math>
\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
</math>
 
: <math>\mathcal{L}\left\{e^{at}\cosln(btat)\right\} = -\frac{s-a}{\gamma + \ln(s) - \ln(a)^{2}+b^{2}s}</math>,
: <math>
: gdzie <math>\gamma</math> – [[stała Eulera]]
\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s}
</math>
gdzie <math>\gamma</math> – [[stała Eulera]]
 
== Transformata odwrotna Laplace’a ==