Transformacja Z: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne, drobne techniczne |
m drobne redakcyjne, int. |
||
Linia 80:
'''Rozwiązanie'''
Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:
<math> \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases} </math>
Korzystając z definicji otrzymujemy:
<math> Z[ \delta(n) ] = \ldots + 0 \cdot z^{2} + 0 \cdot z^{1} + 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + 0 \cdot z^{-2} + \ldots </math>,
stąd:
<math> Z[\delta(n)] = 1 </math>
=== Przykład 2 ===
Wyprowadź wzór na transformatę ciągu <math> x(n) </math> zdefiniowanego następująco:
<math> x(n) = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \}</math> dla <math> n \geq 0</math> oraz <math> x(n)=0 </math> dla <math> n < 0 </math>.
'''Rozwiązanie'''
Zauważmy, że dla <math> n \geq 0 </math>:
<math> x(n) = \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>
oraz
<math> x(n) = 0</math> dla <math> n < 0 </math>.
Pozwala to zapisać ciąg <math>x(n)</math> za pomocą następującego zwartego wzoru:
<math> x(n) = u(n) \left( \frac{1}{2} \right)^n </math>
Zatem:
<math> Z[ x(n) ] = \ldots + 0\cdot z^2 + 0 \cdot z^1 + 1\cdot z^0 + \frac{1}{2} \cdot z^{-1} + \frac{1}{4} \cdot z^{-2} + \frac{1}{8} \cdot z^{-3} + \ldots </math>
Linia 109 ⟶ 118:
Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem <math> q = \frac{1}{2} z^{-1} </math>. Szereg jest zbieżny gdy:
<math> |q| < 1 </math>
co oznacza, że:
<math> |z| > \frac{1}{2} </math>
Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie
<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{ 1 - q } = \frac{1}{ 1 - \frac{1}{2} z^{-1} } = \frac{z}{z - \frac{1}{2}} </math>
Linia 121 ⟶ 133:
'''Rozwiązanie'''
Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:
<math> Z[ x(n) ] = \sum\limits_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a z^{-1} \right)^n </math>
Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:
<math> \left| a z^{-1} \right| < 1</math>, lub
<math> | z | > | a | </math>.
Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie
<math> Z[ x(n) ] = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a} </math>
Linia 134 ⟶ 151:
Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego <math> u(n) </math>.
'''Rozwiązanie'''
Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:
<math> u(n) = a^n u(n) </math> gdzie <math> a = 1 </math>,
stąd:
<math> Z[ u(n) ] = \frac{z}{z-1} </math>
Linia 146 ⟶ 166:
Transformata Z stanowi uogólnienie [[dyskretna transformata Fouriera|dyskretnej transformaty Fouriera]]. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z
:<math>X(z)\,</math> dla <math>z=e^{j\omega}\,</math>
lub innymi słowy określenie jej wartości na [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowym]]. Aby określić [[charakterystyka częstotliwościowa|charakterystykę częstotliwościową]] układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.
==Powiązanie z transformatą Laplace'a==
| |||