Wersja z 13:04, 29 mar 2015 edytuj Vpprof (dyskusja \| edycje) 195 edycji m →‎Liczby harmoniczne: drobne techniczne, nawiasy ← poprzednia edycja		Wersja z 17:26, 10 cze 2015 edytuj anuluj edycję Daroooo (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 7642 edycje m drobne merytoryczne, drobne redakcyjne, drobne techniczne, int. Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 1: {{Inne znaczenia\|matematyki\|[[szereg harmoniczny (muzyka)\|artykuł dotyczący muzyki]]}} '''Szereg harmoniczny''' – [[szereg (matematyka)\|szereg]] liczbowy postaci: : <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots</math> Jego nazwa ~~wzięła~~pochodzi ~~się stąd, że~~od długości fal kolejnych [[~~Alikwot~~Harmoniczna\|alikwotów]] drgającej struny, które są proporcjonalne do 1, ~~1/2~~½, ~~1/3~~⅓, ~~1/4~~¼, ..…. Każdy wyraz szeregu, od drugiego włącznie, jest [[średnia harmoniczna\|średnią harmoniczną]] dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących. == Rozbieżność szeregu harmonicznego == Szereg harmoniczny jest [[granica ciągu\|rozbieżny]] do nieskończoności~~, tj.~~ :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty.</math>. ===Dowód Mikołaja z Oresme=== Poniższy dowód rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od [[Mikołaj z Oresme\|Mikołaja z Oresme]] i jest jednym z ważnych osiągnięć średniowiecznej matematyki.: : <math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots= 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots></math> : <math>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots</math>. Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi ~~1/2~~½, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej. ===Dowód Bradleya<ref>D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, ''American Mathematical Monthly'', 107 (2000), 651.</ref>=== Dla dowolnej liczby ''<math>x'' > - 1</math> spełniona jest nierówność ''<math>x'' ≥\geqslant ln(''x'' + 1)</math>, a więc: :<math>\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln k</math>. Ciąg sum częściowych można więc oszacować: :<math>\begin{array}{lcl}H_n & = & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \\ & \geqslant & \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k)\\ & = & \ln(n+1). \end{array}</math> Ponieważ ~~lim~~<math>\lim_{n \to \infty} ln(''n'' + 1) = ∞\infin</math>, więc również ~~lim ''H''~~<~~sub~~math>''\lim_{n~~''</sub>~~ \to \infty} H_n= ∞\infin</math>. == Uogólnienia == Linia 29: jest rozbieżny przy dowolnych wartościach <math>a \ne 0, b\in \mathbb{R}, an+b \ne 0</math> [[Leonhard Euler\|Euler]] udowodnił, że również szereg odwrotności [[liczba pierwsza\|liczb pierwszych]] jest rozbieżny. == Liczby harmoniczne == Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego : <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>, tak zwane [[liczby harmoniczne]], rosną ~~jednak~~ bardzo powoli., ~~Mamy~~istnieje bowiem następującą równość: : <math> \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma</math>, gdzie γ<math> \gamma</math> = 0~~.5772156649...~~,5772156649… jest tzw. [[stała Eulera\|stałą Eulera]]. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja [[logarytm naturalny]]. Dokładniejsze oszacowanie liczby H<~~sub~~math>nH_n</~~sub~~math> jest dane wzorem <math> H_{n} = \ln n + \gamma + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n^2} + O \left( \frac{1}{n^4} \right)</math>. == Szeregi harmoniczne wyższych rzędów ==

Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami