Układ hybrydowy (automatyka): Różnice pomiędzy wersjami

m
drobne techniczne
m (→‎Przykłady: drobne merytoryczne, drobne redakcyjne)
m (drobne techniczne)
Klasycznym przykładem układu hybrydowego jest odbijająca się piłka, czyli układ fizyczny z „uderzeniem”. W przykładzie tym piłka (rozumiana jako punkt masy) upuszczana jest z początkowej wysokości i odbija się od podłoża, rozpraszając energię przy każdym odbiciu. Piłka taka, pomiędzy każdym odbiciem, wykazuje dynamikę ciągłą; jednakże, gdy piłka uderzy o podłoże, jej prędkość podlega zmianie dyskretnej modelowanej przez [[Zderzenie sprężyste|zderzenie niesprężyste]].
 
Można sformułować opis matematyczny odbijającej się piłki. Niech <math>x_1\,</math> oznacza wysokość piłki, a <math>x_2\,</math> jej prędkość. Układ hybrydowy opisujący piłkę przedstawia się następująco:
 
Gdy <math>x \in C = \{x_1 > 0\}</math>, przepływ opisany jest równaniami:
 
: <math>\dot{x_1} = x_2,\dot{x_2} = -g</math>,
<math>
gdzie <math>g\,</math> to przyspieszenie wywołane siłą ciążenia. Równania te stanowią, że gdy piłka znajduje się powyżej podłoża to jest ściągana do podłoża przez siły grawitacji.
\dot{x_1} = x_2,
\dot{x_2} = -g
</math>,
 
gdzie <math>g\,</math> to przyspieszenie wywołane siłą ciążenia. Równania te stanowią, że gdy piłka znajduje się powyżej podłoża to jest ściągana do podłoża przez siły grawitacji.
 
Gdy <math>x \in D = \{x_1 = 0\}</math>, odbicia piłki opisane są równaniami:
: <math>x_1^+ = x_1, x_2^+ = -\gamma x_2</math>,
 
gdzie <math>0 < \gamma < 1\,</math> jest czynnikiem rozproszenia. Oznacza to tyle, że gdy piłka znajduje się na wysokości równej zero (uderzyła właśnie o podłoże), jej prędkość ulega zmianie i zostaje zmniejszona o czynnik <math>\gamma\,</math>. W efekcie opisuje to naturę [[zderzenie sprężyste|zderzenia niesprężystego]].
<math>
x_1^+ = x_1,
x_2^+ = -\gamma x_2
</math>,
 
gdzie <math>0 < \gamma < 1\,</math> jest czynnikiem rozproszenia. Oznacza to tyle, że gdy piłka znajduje się na wysokości równej zero (uderzyła właśnie o podłoże), jej prędkość ulega zmianie i zostaje zmniejszona o czynnik <math>\gamma\,</math>. W efekcie opisuje to naturę [[zderzenie sprężyste|zderzenia niesprężystego]].
 
Odbijająca się piłka stanowi szczególnie interesujący układ hybrydowy, gdyż wykazuje zachowanie [[Zenon z Elei|Zenona]]. Zachowanie Zenona ma swoją ścisłą definicję matematyczną, ale można je poglądowo opisać jako układ wykonujący nieskończoną ilość skoków w skończonym czasie. W przytoczonym przykładzie za każdym razem, gdy piłka odbija się, traci energię, przez co kolejne odbicia (uderzenia o podłoże) mają miejsce w coraz krótszych odstępach czasu.
 
Warto przy tym zauważyć, że model układu dynamicznego jest kompletny wtedy i tylko wtedy, jeśli doda się siłę kontaktową pomiędzy podłożem a piłką. W istocie, bez sił nie można odpowiednio zdefiniować odbijającej się piłki i model, z mechanicznego punktu widzenia, traci sens. Najprostszy model kontaktu, który przedstawia interakcje pomiędzy piłką i podłożem, to związek wzajemnego uzupełniania się siły i odległości (odstępu) pomiędzy piłką a podłożem. Można to zapisać jako:
: <math>0 \leq \lambda \perp x_1 \geq 0</math>.
 
<math>
0 \leq \lambda \perp x_1 \geq 0
</math>.
 
Taki model kontaktu nie ujmuje w sobie sił magnetycznych ani efektów lepkości. Gdy związki wzajemnego uzupełniania się zostały zamodelowane, można kontynuować integrację układu po tym jak uderzenie zostało zakumulowane i zanikło: równowaga układu jest dobrze zdefiniowana jako równowaga statyczna piłki na podłożu, przy działaniu siły ciężkości skompensowanej przez siłę kontaktową <math>\lambda\,</math>. Z podstawowej [[analiza wypukła|analizy wypukłej]] wynika, że związek wzajemnego uzupełniania się można równoważnie zapisać jako zawartość w [[stożek|stożku]] normalnym, tak że dynamika odbijającej się piłki stanowi włączenie różnicowe do stożka normalnego dla [[zbiór wypukły|zbioru wypukłego]].
* jawne,
* niejawne.
W podejściu jawnym układ często opisuje się za pomocą [[Teoria automatów|automatu]] hybrydowego lub hybrydowej [[sieć Petriego|sieci Petriego]]. W modelowaniu niejawnym stosuje się równania logiczne z wyborem ({{ang.|guarded equations}}), w których ciąg wyrażeń logicznych zwanych ''strażnikami'' ({{ang.|guard}}) używany jest do wyboru spomiędzy ciągu wyników tego samego typu. Prowadzi to do układu algebraicznych [[równanie różnicowe|równań różnicowych]], gdzie równania aktywne mogą być zmieniane, na przykład za pomocą hybrydowych grafów powiązań stosowanych do graficznego opisu dynamicznych układów fizycznych ({{ang.|bond graph}}).
 
Unifikujące podejście do symulacji układów hybrydowych oferuje metoda oparta na formalizmie DEVS ({{ang.|Discrete Event System Specification}}), w którym integratory równań różnicowych są kwantowane do zatomizowanych modeli DEVS. Metody te generują przebiegi zachowań układu w sposób typowy dla zdarzeń dyskretnych, co odróżnia je od układów czasu dyskretnego. Do takiego modelowania można wykorzystać pakiet oprogramowania [[PowerDEVS]].
 
[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]