Funkcja całkowita: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
Kamil09875 (dyskusja | edycje) rozbudowano artykuł, WP:SK |
||
Linia 1:
{{inne znaczenia|analizy zespolonej|[[funkcja częściowa|definicja funkcji całkowitej jako pewnej relacji w haśle o funkcji częściowej]]}}
'''
: <math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n,\quad</math> gdzie <math>z,a_n\in\mathbb{C}</math>.
== Przykłady ==
=== Wielomiany ===
{{osobny artykuł|Wielomian}}
Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:
: <math>f(z)=4z^5+7z^2+z+2=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n</math>
gdzie ciąg <math>(a_n)</math> jest postaci
: <math>(a_n)=(2,1,7,0,0,4,0,0,0,0,\ldots)</math>
=== Funkcja eksponencjalna ===
{{osobny artykuł|Funkcja eksponencjalna}}
Funkcja <math>\exp(z)</math> jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako
: <math>\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}</math>,
gdzie ''n''! oznacza [[silnia|silnię]].
=== Sinus i cosinus ===
{{osobny artykuł|Funkcje trygonometryczne}}
Funkcje <math>\sin(z)</math> i <math>\cos(z)</math> są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:
: <math>\cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}</math>
: <math>\sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}</math>
== Własności ==
Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest [[ciągłość funkcji|ciągła]] i nieskończenie wiele razy [[różniczkowalność|różniczkowalna]], a więc również [[funkcja holomorficzna|holomorficzna]].
== Zobacz też ==
* [[Twierdzenie Liouville'a (analiza zespolona)|
[[Kategoria:Funkcje specjalne|całkowita]]
| |||