Łańcuch (teoria mnogości): Różnice pomiędzy wersjami

m
przecinek, replaced: wtedy gdy → wtedy, gdy (3) przy użyciu AWB
(→‎Zobacz też: odlinkowanie Skarbnicy Wikipedii i przekierowań do niej)
m (przecinek, replaced: wtedy gdy → wtedy, gdy (3) przy użyciu AWB)
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em).
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>.
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku.
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>.
* ''Twierdzenie Dilwortha'' mówi że częściowy porządek <math>(P, \sqsubseteq)</math> jest [[Suma zbiorów|sumą]] <math>n</math> łańcuchów (<math>n\in \mathbb{N}</math>) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>P</math> nie zawiera <math>n+1</math> elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).
 
== Warunki łańcucha ==
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały.
 
W teorii [[forsing]]u rozważa się własność określaną czasami jako '''warunek przeliczalnego łańcucha'''. Własność ta bezpośredniego związku z łańcuchami nie ma i lepszą nazwą dla niej jest ''warunek przeliczalnych antyłańcuchów'' (jako że ta własność postuluje że każdy antyłańcuch w rozważanym pojęciu forcingu jest przeliczalny). Użycie słowa ''łańcuch'' było prawdopodobnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii. Innym możliwym wytłumaczeniem jest fakt, że jeśli <math>\mathbb{B}</math> jest zupełną [[algebra Boole'a|algebrą Boole'a]], to każdy antyłańcuch w <math>\mathbb{B}^+</math> jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy w algebrze <math>\mathbb{B}</math> nie istnieje nieprzeliczalny ściśle malejący ciąg <math>a_0>a_1>\ldots>a_\alpha>\ldots</math> (<math>\alpha<\omega_1</math>).
 
== Funkcje kardynalne ==
455 407

edycji